Sigma Test

I Nivo

1) 1976. Marcelo je imao 11 godina. Koliko ce imati 1999. godine?

2) Ako 13 metaka kosta 3.90$, koliko kosta 31 metak?

3) Kutija ima dimenzije 60 cm x 50 cm x 30 cm. Koliko najvise manjih kutija dimenzija 10 cm x 10 cm x 10 cm moze da stane u vecu kutiju?

4) 12 ljudi obavi posao za 12 dana. Koliko ljudi je potrebno da se isti posao obavi za jedan dan? 

5) Zbirka se sastoji od 12 tomova. Svaki tom ima 300 stranica, 50 redova na svakoj strani i 100 slova u svakom redu. Koliko ukupno ima slova u celoj kolekciji?

II Nivo

6) Preduzece ima dovoljno robe da obezbedi svojih 2500 klijenata narednih 12 meseci. Koliko bi ove zalihe trajale kada bi broj klijenata porastao na 6000 ljudi?

7) Ako jedan konj moze da povuce 600 kg, koliko je konja potrebno da povuku 6150 kg?

8) Fernanda i Andrea imaju ukupno 18 godina. Koliko svaka pojedinacno ima godina, ako se zna da je Andrea dva puta starija od Fernande?

III Nivo

9) Ricardo je 30% tezi od Josea. Ako bi Ricardo smrsao 10%, a Jose se ugojio 20%, koji bi od njih dvojice bio tezi tada? Objasnite.

10) Planetarni sistem ima, pored glavne zvezde, jos 9 planeta. Svaka planeta ima 7 primarnih satelita. Svaki dvadeset i prvi satelit ima 3 svoja satelita. Koliko nebeskih tela ima ukupno?

11) Na stepenistu sa 1000 stepenika, ima 1 gram zlata na prvom stepeniku, 2 grama zlata na drugom, 3 grama zlata na trecem, 4 grama zlata na cetvrtom, 5 grama zlata na petom i tako redom, tako da na poslednjem stepeniku ima 1 kg. zlata. Ako se zna da jedan gram zlata vredi 11 dolara, izracunajte ukupnu vrednost zlata na stepenistu (u dolarima).

IV Nivo

12) 99% ljudi u sobi su muskarci. Koliko muskaraca bi trebalo da napusti sobu da bi procenat muskaraca u sobi opao na 98%? Zna se da je broj zena u sobi 3.

13) Na sahovskoj tabli sa 64 polja (8x8), dva kralja mogu da zauzmu 3612 razlicitih pozicija. Koliko razlicitih pozicija mogu dva kralja da zauzmu na sahovskoj tabli sa 117 polja (13x9). Dva kralja ne smeju da budu na istom polju u isto vreme ili da se nalaze na susednim poljima.

14) Marcelo je imao jabuke od kojih je polovinu dao svom bratu. Ovaj je dao 75% jabuka koje je dobio da se podele na jednake delove trojici njegovih rodjaka: Andersonu, Joaou i Maneu. Anderson je kupio jos 7 jabuka i dao polovinu svih svojih jabuka svom bratu Maneu. Mane je tada imao ukupno 17 jabuka. Koliko je jabuka dobio Joao?

15) Marija je otisla na farmu da kupi jaja. Na povratku kuci, dala je polovinu kupljenih jaja svojoj sestri, koja je zatim dala trecinu svog dela svom decku. Decko je, nakon sto je pojeo trecinu dobijenih jaja, dao ostatak svom rodjaku. Ako se zna da svako jaje tezi 70 grama, da Marija ne moze da nosi vise od 2.5 kg i da su sva jaja bila sveza, izracunajte koliko je jaja dobio rodjak decka Marijine sestre.

16) Gradonacelnik Joao i jedan vazni biznismen nezenja, po imenu Jose, napravili su veliki rostilj. Osim biznismena Josea, gradonacelnika Joao i njegove zene, broj prisutnih bio je jednak broju novcanica od 100 dolara koje je gradonacelnik potrosio pomnozenim sa brojem novcanica od 100 dolara koje je potrosio biznismen. Ako se zna da je u proseku svaka osoba konzumirala hrane i pica u vrednosti od 6.40$ i da je gradonacelnik ulozio 1700$, izracunajte koliko je ulozio biznismen Jose. (Paznja: biznismen Jose, gradonacelnik Joao i njegova zena su takodje medju konzumentima rostilja).

V Nivo

17) Bolid formule 1, vozi kruznom pistom i prvi krug izveze za 3 minuta prosecnom brzinom od 144 km/h. Za koje vreme treba da izveze drugi krug tako da prosecna brzina oba kruga zajedno bude 300 km/h?

18) Kada je Antonio pogledao na svoj sat, primetio je da se dve skazaljke tacno poklapaju. Posle koliko vremena ce se ovo ponovo dogoditi? (Obe skazaljke se krecu konstantnim brzinama).

19) Voz sa dva vagona se krece brzinom od 80 km/h iz grada X prema gradu Y, koji su udaljeni 800 km jedan od drugog. U istom trenutku kada je voz krenuo, putnik je poceo da hoda napred nazad sa jednog kraja vagona B na drugi kraj vagona B brzinom od 100 cm/s. Po dolasku u grad Y, putnik je presao napred nazad 720 puta. Duzina vagona A je jednaka duzini vagona B plus 1/4 duzine lokomotive, a duzina lokomotive je jednaka duzini vagona A plus 1/5 vagona B. Kolika je ukupna duzina voza?

VI Nivo

20) Nekoliko slavina je korisceno da bi se napunilo 6 bazena. Jedan sat su sve slavine sipale vodu u rezervoar koji je vodu rasporedjivao u cetiri od ovih sest bazena i to u bazene A, B, C i D. Nakon toga, slavine su jedan sat sipale vodu u dvostruki levak koji je pola vode usmeravao u bazene E i F, a drugu polovinu u rezervoar, koji je nastavljao da deli vodu u bazene A, B, C i D. Nakon toga, bazeni A, B, C i D bili su puni. Da bi se do kraja napunili bazeni E i F, bilo je potrebno da se upotrebi jedna slavina, koja je tokom dva sata sipala vodu u bazene E i F. Nakon ovoga, svih sest bazena su bili puni. Koliko je slavina korisceno na pocetku? (Paznja: sve slavine su istakale istu kolicinu vode i svi bazeni imaju istu zapreminu)

21) Nacrtan je izvestan broj pravougaonika na ravnoj povrsini tako da linije njihovih preseka, tvore 18769 oivicenih i celovitih povrsina. Koji je najmanji broj pravougaonika da bi ovo bilo moguce? 

22) Izvestan broj oblika sastavljenih od pravih linija je nacrtan na ravnoj povrsini tako da linije njihovih preseka tvore 1597 oivicenih i celovitih povrsina. Koji je najmanji broj ovih oblika koji mora biti nacrtan da bi ovo bilo moguce?

23) 1 + 10^1,234,567,890 trouglova je nacrtano na ravnoj povrsini. Koji je najveci broj povrsina, oivicenih i celovitih, koje ovi trouglovi cine presecajuci se medjusobno? (Problem prilozio Rodrigo de Almeida Rodrigues).

24) Prema Fermatovoj poslednjoj teoremi a^n + b^n = c^n nema resenja za n > 2 (a, b, c i n moraju da budu pozitivni celi brojevi). Godine 1992, to sam dokazao na jednostavan, ali i netacan nacin. Ovako je izgledala moja zamisao: Fermatova teorema je generalizacija Pitagorine teoreme, koja kaze da je zbir povrsina kvadrata nacrtanih nad katetama pravouglog trougla jednak povrsini kvadrata nacrtanog nad hipotenuzom istog pravouglog trougla (a^2 + b^2 = c^2). Ako pokusamo da tu teoremu uopstimo i predjemo iz dve u tri dimenzije (a^3 + b^3 = c^3), dobijamo trougaonu prizmu nastalu izmestanjem pravouglog trougla duz ose normalne na povrsinu trougla, kao sto je prikazano na ilustraciji.  
Mozemo da konstruisemo kocku na jednoj od tri cetvorougaone povrsine te prizme. Dve od tri povrsine odgovaraju katetama pravouglog trougla (ADFB, BFEC), dok veca povrsina odgovara hipotenuzi (ADEC). Moguce je konstruisati kocku nad jednom od tih povrsina , pod uslovom da su cetiri ivice te povrsine jednake duzine. Ovo se odnosi na celu prizmu, jer dovodi do toga da kocka konstruisana nad jednom povrsinom bude iste velicine kao kocka konstruisana nad drugom povrsinom, jer ako je AB=BF i BF=BC, onda je AB=BC. Na taj nacin, ne moze se konstruisati kocka nad trecom povrsinom, jer ako AC predstavlja hipotenuzu, onda AC ne moze biti jednako AB. Prema tome, a^n + b^n = c^n, nema resenja za n=3. Po istoj semi razmisljanja, mozemo da pokazemo da nema resenja za bilo koju vrednost n, vecu od 2. Koja je greska u ovom dokazu?

VII Nivo

25) Odredjeni sistem zupcanika sastoji se od 5 koncentricnih diskova postavljenih jedan iznad drugog. Diskovi, oznaceni kao: A, B, C, D i E, su postavljeni na cvrstu platformu, koja sluzi kao nepokretni oslonac. Diskovi su razlicitih velicina i okrecu se razlicitim brzinama. Svi diskovi se okrecu konstantnim brzinama, neki u smeru kazaljke na satu, neki u suprotnom smeru. Svaki disk ima crvenu tacku na svojoj povrsini i na pocetku sve te crvene tacke nisu u istoj liniji. U datom trenutku, svi diskovi pocinju da se vrte istovremeno, svaki svojom brzinom, bez ikakvog medjusobnog dodira. Potrebno je 7 minuta disku A, 13 minuta disku B, 17 minuta disku C, 19 minuta disku D i 23 minuta disku E da obrnu pun krug od 360 stepeni. Posle izvesnog vremena, sve crvene tacke bile su u istoj liniji, a disk A je bio u istom polozaju u kom je bio 2 minuta posto su diskovi poceli da se okrecu, disk B je bio u istom polozaju u kom je bio 3 minuta posto su diskovi poceli da se okrecu, disk C je bio u istom polozaju u kom je bio 4 minuta posto su diskovi poceli da se okrecu, disk D je bio u istom polozaju u kom je bio 7 minuta posto su diskovi poceli da se okrecu, a disk E je bio u istom polozaju u kom je bio 9 minuta posto su diskovi poceli da se okrecu. Koliko je vremena proteklo od trenutka kada su diskovi poceli da se okrecu do trenutka kada su se sve crvene tacke nasle u istoj liniji po prvi put?

26) Pedrinjo je usao u radnju Dona Marije i trazio da mu proda geometrijski lenjir za crtanje spirala sa malim koncentricnim krugom. Dona Marija, clan Drustva Sigma, rekla je decaku da ne postoje lenjiri za crtanje spirala. Ali nakon sto je razmislila ponovo, nasla je nacin da nacini takav crtez i opisala metod decaku. Odmah mu je prodala materijal koji mu je bio potreban, a on je platio novcanicom od 10$ i dobio izvestan kusur. Otisao je kuci i nacinio crtez bez ikakvih problema. Opisite metod za obavljanje Pedrinjovog zadatka, imajuci istih 10$ na raspolaganju za kupovinu potrebnog materijala. Crtez mora da pokazuje zadovoljavajuce slaganje sa opisanom semom (tj. spirala sa malim koncentricnim krugom), bez velikih nepravilnosti u spirali. (Prepravljeno 31. Avgusta 2001. na predlog nasih prijatelja Petri Widstena i Nika Lygerosa, posto je ranije pitanje sa 9 kocki bilo slicno jednom od pitanja iz Eureka testa).

27) Covek duboko udahne, napunivsi pluca u potpunosti vazduhom. Onda zadrzi dah i izmeri obim grudi koji tada iznosi 106 cm. Nakon toga, covek izdahne tako da sav vazduh izadje iz njegovih pluca. Ponovo premeri obim pluca i sada on iznosi 84 cm. Sa 10$ na raspolaganju za kupovinu materijala, otkrijte zapreminu vazduha, koju njegova pluca mogu da udahnu.

28) Brzina ljudskih refleksa moze da se odredi na osnovu vremena koje protekne od stimulusa do odgovora na stimulus. Npr: Lampa je ugasena dok je posmatramo. Kada dobijemo stimulus "lampa je upaljena", reakcija je "zatvori oci". Sto je krace vreme izmedju "lampa je upaljena" i " zatvori oci", to su refleksi brzi. Opisite metod za odredjivanje refleksa, bez upotrebe hronometra ili bilo koje druge naprave za merenje vremenskih intervala manjih od jedne sekunde. Moguce je osmisliti grub metod uz budzet od 1$ za opremu i prefinjen metod velike preciznosti sa budzetom od 1000$. Opisite metode za oba budzeta.

29) Godine 1993. u jednom eseju o nauci i religiji, opisao sam projekat u vezi sa mogucnoscu da se izgradi "masina za nevidljivost". Posto sam opisao detalje, shvatio sam da su neki problemi neresivi, ne samo zbog tehnoloskih ogranicenja, vec i zbog fizickih razloga koji namecu teoretska i mozda nepremostiva ogranicenja. Projekat pocinje sa sredisnjom idejom da je kako bi se neki objekat nacinio nevidljivim, neophodno da spoljni posmatrac koji gleda prema objektu prestane da vizuleno  primecuje njegovo prisustvo. Ovo se moze uciniti na sledeci nacin: konstruise se sfera i cela njena spoljna povrsina se prekrije sicusnim, TV kamerama i monitorima visoke rezolucije. Milioni ili cak milijarde kamera i monitori bi trebalo da prekriju celu sferu tako da svaki monitor prenosi sliku koju hvata kamera postavljena u tacki koja je dijametralno nasuprot tom monitoru. Rezultat bi bio kao sto je prikazano na crtezu ispod. 
Sliku objekta (plavi kvadrat) hvata kamera smestena u tacki A, koja je prenosi na monitor u tacki M. Kao rezultat, posmatrac u tacki O videce plavi kvadrat kao da pred njim nema nicega. Na taj nacin, sve sto je unutar sfere bilo bi nevidljivo za spoljnog posmatraca. Ali ova sema postavlja dva problema. Jedan od njih moze da se resi u teoriji, dok je drugi neresiv. Navedite koja su to dva problema i objasnite zasto je jedan resiv, a drugi neresiv.

VIII Nivo

30) Kada obicnom olovkom pisete po listu papira, na njemu ostaje tanak sloj grafita. Opisite metod da se izracuna masa grafita u tacki iznad slova "i". Mozete da koristite samo 10$ za kupovinu materijala potrebnog za eksperiment.

31) Imamo cilindar precnika 50 cm i visine 1 metar i traku za merenje debelu 0.01 cm i siroku 1 cm. Debljina trake je nepromenljiva i jedna njena strana se ne isteze. Odredite duzinu trake koja je neophodna da bi se ona obmotala oko cilindra 9 puta (svi su krugovi jedan preko drugog). Resenje mora da bude dato sa 14 cifara (decimala) i nije dozvoljeno seci traku i seci ili deformisati cilindar.

32) Savremeni, sofisticirani avion leti poput ptice iznad ekvatorijalne linije planete, na visini od 1000 metara. Planeta je potpuno sfernog oblika i potpuno je homogena. Oko planete kruzi mali satelit na kruznoj orbiti u ravni koja je paralelna njegovom ekvatoru. U 15:58:30 h, covek sa padobranom iskace iz aviona, padajuci vertikalno na zemlju. U momentu u kome iskace iz aviona, primecuje satelit kako izlazi na istocnom horizontu. Covek se prizemljuje i, sa mesta prizemljenja, nastavlja da posmatra satelit, koji u 17:40:00 h dostize zenit. Covek ostaje na istom mestu posmatrajuci... i u 19:20:00 h vidi kako satelit zalazi na zapadnom horizontu. Jos uvek na istom mestu, covek u 22:40:00 h ugleda satelit kako ponovo izlazi na istoku. Koji je priblizni precnik te planete? Objasnite kako ste dosli do svog odgovora i koliko je svaki od datih podataka bio od koristi. Objasnite takodje i zbog cega rezultat ne moze da bude precizan. 
(Ukoliko imate nedoumice oko znacenja reci zenit, horizont, ekvator, orbita, itd. mozete da konsultujete recnik ili enciklopediju).

IX Nivo

33) Opisite praktican i brz metod koji se moze upotrebiti sa prilicnom preciznoscu kako bi se odredio broj reci u recniku neke osobe.

34) Bio jednom jedan izvanredni antropolog, clan Sigme V, po imenu Joao. Tokom jedne ekspedicije u Afriku, zarobilo ga je pleme ljudozdera i osudilo da im postane obrok. Medjutim, plemensko "pravo" nudilo je zatvorenicima sansu da budu oslobodjeni, ukoliko uspeju da savladaju izazov. U Joaovom slucaju, izazov se sastojao u sledecem: dace mu dva jajeta, jedno zivo, a drugo kuvano. Oba jajeta bice u kutiji. Zidovi tih kutija su cvrsti i neprovidni. Kutije su oblika paralelopipeda. Jedna od kutija ima prozor na jednom od svojih zidova. Prozor je prekriven mrezicom od zice i kroz njega je moguce posmatrati jaje koje se nalazi u kutiji. 
Izazov je u tome da se otkrije u roku od 2 minuta koje jaje je nekuvano. Nije dozvoljeno razbiti jaja, vaditi jaja iz kutije ili otvarati kutije. 
Joau su rekli da ce mu postaviti izazov nakon 90 dana. Pre toga, moze da racuna na pomoc stanovnika sela u iznalazenju resenja problema. Pored toga, na usluzi su mu i sva "sofisticirana" sredstva i sve drugo sto moze da nadje u selu i njegovom okruzenju. Kada je doslo vreme da se suoci sa izazovom, Joau su u zoru prekrivene oci i vezane ruke. Nekoliko minuta kasnije, jedan stari stanovnik sela, uzeo je jedno jaje, skuvao ga, osusio i stavio ga u kutiju koju je zatvorio. Zatim je uzeo zivo jaje i stavio ga u drugu kutiju, koju je momentalno zatvorio. Dve kutije su stavljene na sto, gde su stajale dok se nije smrklo. Tada su Joau odvezali ruke, dali su mu opremu koju je ranije zahtevao i odveli su ga do stola na kome su stajale kutije sa jajima. Pazljivo ih je pregledao i uspeo da otkrije u kojoj kutiji se nalazi zivo jaje. Izazov je ponavljan svakodnevno tokom 20 dana, svaki put sa drugim jajima i svaki put Joao je uspeo da otkrije zivo jaje. Zadivljeni ljudozderi su ga zatim oslobodili i cak su mu dali i mnogo nakita kao poklon.

We are recommending those who are taking the "Sigma " test ,not to try out the quest in real life !It can bring you into very dangerous situation.  We don't take any kind of responsibility for possible physical or other problems caused by trying out the questions in real life.  We would like to tell you about the following true story, which has made a deep impression on us, the story tells what might happen if you try to carry out the questions in reality. Our friend, David Udbjorg, from Denmark, risked his life by trying to solve the problem. He traveled to Africa. He found a local tribe of cannibals, in order to try out question no.34. But the Cannibals, didn't know about the Sigma test and consequently haven't read the agreements. So they decided that David should be the next meal. Fortunately, on the same day as David was going to be served, there would be a solar eclipse at 12 o´clock. OF course David knew this, and threatened to take the sun away forever. The cannibals didn't believe David, but as the sun started be shaded by the moon, they let him loose. David told them that he would forgive what they had done and bring the sun back. And the sun returned ! Our hero was celebrated by the cannibals because he saved the town. David sent a photo as proof. Photo: curtesy of David Udbjorg

35) Vanzemaljci su oteli jednog Arapina i jednu Izraelku. Vanzemaljci su obecali da ce ih vratiti na zemlju nepovredjene, ukoliko uspeju u sledecem zadatku: tri sobe su oznacene sa A, B i C. Svaka soba je cetvorougaona i povrsine je oko 25 m2. Sobe su povezane tako sto svaka soba ima dvoja vrata i svaka vrata vode u jednu od preostale dve sobe. Tri sobe su zvucno izolovane i nemaju nikakav namestaj, ni prozore. Zidovi, vrata, plafon i pod svake sobe su cvrsti i neprozirni i nemaju nikakve pukotine, rupe, skrivene prolaze ili bilo sta slicno. Covek je smesten u sobu A, a zena u sobu B. Oboje su dobili sledeca uputstva:

1 - Oboje imaju 1 sat da prodju kroz tri sobe i vrate se u sobu iz koje su posli, uvek iduci u smeru A - B - C - A. 
 2 - Oboje moraju da sede na podu, svako u svojoj sobi, dok ne bude dat znak koji ce da oznaci da je pocelo odbrojavanje vremena. Znak je bio sledeci: na svakim vratima ima dve lampe (po jedna sa svake strane vrata) i gotovo istovremeno paljenje svih lampi predstavlja znak. Svaka lampa je dovoljno jaka da je osoba lako primeti cak i kada ne obraca paznju na nju. 
 3 - U trenutku kada zena dotakne kvaku na vratima sobe, covek ne moze vise da bude u toj sobi.
4 - U trenutku kada covek dotakne kvaku na vratima sobe, zena vise ne moze da bude u toj sobi.
5 - Zena mora da ustane sa poda posle coveka.
6 - Coveku i zeni nije dopusteno da komuniciraju medjusobno na bilo koji nacin, ili da bilo kako od bilo koga pribave informaciju koja bi im omogucila da shvate gde se nalazi onaj drugi. Ne smeju da udaraju zidove i vrata, ili da pokusavaju da proizvedu bilo kakvu vrstu udarnog talasa. Pri napustanju sobe i ulasku u sledecu, zahteva se da se zatvore odgovarajuca vrata. Pocetno, sva su vrata zatvorena. Dvoja ili vise vrata ne smeju da budu otvorena istovremeno.
7 - Nijedno od njih nema sat, niti bilo kakav instrument koji moze da posluzi za merenje vremena
8 - 1 minut pre isteka roka od 1 sata, ponovo ce biti dat svetlosni znak, kao podsetnik da vreme istice.
9 - Po isteku roka od jednog sata, covek mora da sedi u centru sobe A, a zena mora da sedi u centru sobe B.
10 - Zena sme da sedne samo posle coveka.
11 - Coveku je receno da je zena izuzetno inteligentna.
12 - Zeni je receno da je covek izuzetno inteligentan.
Covek i zena se nisu poznavali i nikada ranije nisu bili ni u kakvom kontaktu. Nisu komunicirali tokom celog procesa (radi pojasnjenja, moze se reci da su oboje bili gluvonemi). Eksperiment je sproveden i oni su uspeli da obave zadatak. Eksperiment je ponovljen 10 puta i svaki put oni su obavili zadatak uspesno, jasno stavljajuci do znanja, da prvi put nije u pitanju bila puka sreca. Nakon toga, vraceni su na zemlju, gde su se preobratili u Zoroastrizam, vencali se i ziveli dugo i srecno! Opisite metod koji su upotrebili i nacin razmisljanje svakog od njih.

X Nivo - EXTRA (da bi se dao odgovor na ovo pitanje zahteva se da je odgovoreno na najmanje 3 pitanja VII-IX nivoa)

36) Veliki pesnik Joao proveo je poslednje dane svog zivota smesten u podrum kuce svog prijatelja Josea. Jose, neznatni trgovac, bio je covek skromnog imovinskog stanja, ali vrlo velikodusan. Pre smrti, Joao je poverio svom prijatelju jednu neobjavljenu pesmu. Naziv pesme, posthumno izdate, je nebitan za dati problem. Joao je svog skromnog i velikodusnog prijatelja zvao samo "Vodozemac". Jednom kada ga je njegov prijatelj upitao zasto ga stalno zove tim imenom, Joao mu je objasnio. 
Imajte u vidu da je Joao izuzetno cenio svog prijatelja i u kontekstu svega naznacenog, nadjite logicno objasnjenje za znacenje "Vodozemca" 

(Ova prica je zasnovana na stvarnom dogadjaju).