Niveau
I
1) En 1976
Marcelo avait 11 ans. Quel âge aura-t-il en 1999?
2) Si 13 balles
coûtent $3,90, combien coûtent 31 balles?
3) Une boîte
mesure 60 cm de largeur, 50 cm de longueur et 30 cm de profondeur.
Quel est le nombre maximal de boîtes plus petites mesurant
10 cm de largeur, 10 cm de longueur et 10 cm de profondeur qui
tiennent dans cette boîte?
4) 12 personnes
font un travail en 12 jours. Combien de personnes faudra-t-il
pour faire ce travail en 1 jour?
5) Une collection
consiste en 12 volumes. Il y a 300 pages dans chaque volume, 50
lignes à chaque page et 100 lettres à chaque ligne.
Combien de lettres y a-t-il au total dans cette collection?
Niveau
II
6) Une compagnie
a assez de stock pour fournir sa clientèle de 2,500 personnes
pendant 12 mois. Combien de temps ce stock durerait-il si la clientèle
passait à 6,000 personnes?
7) Si un cheval
peut tirer 600 kg, combien de chevaux faut-il pour tirer 6,150
kg?
8) Les âges
de Fernanda et Andreia font au total 18 ans. Quel est l·âge
de chacune si l·âge d´Andreia est le double
de celui de Fernanda?
Niveau
III
9) Ricardo
pèse 30 % de plus que José. Si Ricardo perdait 10
% et si José gagnait 20 % de poids, lequel d'entre eux
pèserait le plus après cela. Expliquez.
10) Dans un
système planétaire il y a 9 planètes en plus
de l·étoile principale. Chaque planète possède
7 satellites primaires. Un satellite primaire sur 21 possède
3 satellites co-orbitaux. Combien d·astres y a-t-il au
total?
11) Sur un
escalier composé de 1000 marches il y avait 1 gramme d·or
sur la première marche, 2 grammes sur la deuxième,
3 grammes sur la troisième, 4 grammes sur la quatrième,
5 grammes sur la cinquième et ainsi de suite, donc 1 kg
d·or sur la dernière marche. Sachant que 1 gramme
d·or vaut 11 dollars, calculez la valeur totale de l·or
sur l·escalier.
Niveau
IV
12) 99% des
gens dans une salle sont des hommes. Combien d·hommes doivent
sortir de la salle pour que ce pourcentage baisse jusqu´à
98%? On sait qu·il y a 3 femmes dans la salle.
13) Sur un
échiquier de 64 cases (8 x 8), deux rois peuvent occuper
3.612 positions différentes. Combien de positions différentes
peut-on obtenir sur un échiquier de 117 cases (13 x 9)
si deux rois ne peuvent pas occuper simultanément la même
case ou deux cases adjacentes?
14) Marcelo
avait des pommes dont il a donné la moitié à
son frère. Après, celui-ci a donné 75% des
pommes qu´il avait reçues pour qu·elles soient
divisées en parties égales entre ses trois cousins
(Anderson, João et Mané). Anderson a acheté
7 pommes de plus et après il a donné la moitié
du total de ses pommes à son frère, Mané.
Après cela, Mané avait 17 pommes au total. Combien
de pommes est-ce que João a eu?
15) Maria
est allée à la ferme pour acheter des oeufs. En
rentrant chez elle, elle a donné la moitié des oeufs
à sa soeur qui, à son tour, a donné le tiers
de ses oeufs à son petit ami. Celui-ci, après avoir
mangé le tiers de ses oeufs, a donné le reste de
ses oeufs à son cousin. Sachant que chaque oeuf pèse
70 grammes, que Maria ne réussit pas à porter plus
de 2,5 kg et que les oeufs étaient crus, calculez combien
d·oeufs le cousin du petit ami de la soeur de Maria a eus.
16) Le maire
João et un grand homme d·affaires célibataire,
appelé José, ont offert, ensemble, un grand barbecue.
Sans compter l·homme d·affaires José, le
maire João et son épouse, le nombre des gens présents
égalait le nombre de billets de 100 dollars que le maire
a dépensés multiplié par le nombre de billets
de 100 dollars que l·homme d·affaires a dépensés.
Sachant que, en moyenne, chaque personne a consommé l·équivalent
de US$ 6,40 et que le maire a investi US$ 1700,00, calculez combien
l·homme d·affaires José a investi. (Note:
l·homme d·affaires José, le maire João
et son épouse ont aussi participé à la consommation)
Niveau
V
17) Une automobile
de Formule 1 parcourt une piste circulaire, terminant le premier
tour en 3 minutes, à la vitesse moyenne de 144 km/h. En
combien de temps doit-elle parcourir le deuxième tour pour
que la vitesse moyenne des deux tours soit de 300 km/h?
18) Quand
Antônio a regardé sa montre, il a constaté
que la grande aiguille se trouvait exactement au-dessus de la
petite aiguille. Dans combien de temps cette situation se répétera-t-elle?
(le mouvement des deux aiguilles est uniforme)
19) Un train
à 2 wagons voyage à une vitesse de 80 km/h de la
ville X à la ville Y, séparées d·une
distance de 800 km. Au moment où le train est parti, un
voyageur a commencé à marcher en allant et venant
dans le wagon B, à une vitesse de 100 cm/s. En arrivant
à la ville Y, le voyageur était déjà
allé et venu 720 fois. Le wagon A a la longueur du wagon
B plus le quart de la longueur de la locomotive et la locomotive
a la longueur du wagon A plus le cinquième de celle du
wagon B. Quelle est la longueur totale du train?
Niveau
VI
20) Plusieurs
robinets ont été utilisés pour remplir six
tanks. Pendant une heure, tous les robinets ont déversé
de l·eau dans un réservoir qui l·a répartie
entre quatre de ses tanks: A, B, C et D. Après cela, pendant
une heure de plus, les robinets ont déversé de l·eau
dans un entonnoir double qui a dirigé la moitié
de cette eau dans les autres tanks, E et F, et l·autre
moitié dans le réservoir qui, à son tour,
a réparti son eau entre les tanks A, B, C et D. Après
ça, les tanks A, B, C et D étaient pleins. Pour
remplir les tanks E et F, il a fallu utiliser un robinet qui,
pendant deux heures, a divisé sa eau entre les tanks E
et F, complétant ainsi les six tanks. Quel est le nombre
de robinets utilisés au commencement? (Note: Tous les robinets
avaient le même débit d·eau et tous les tanks
avaient le même volume)
21) Plusieurs
rectangles sont dessinés sur une surface plate de manière
que les intersections de leurs côtés produisent 18.769
superficies diverses non-subdivisées. Quel est le nombre
minimum de rectangles qu·il faut dessiner pour former le
dessin décrit?
22) Plusieurs
segments de droite sont dessinés sur une surface plate
de manière que leurs intersections produisent 1.597 superficies
diverses non-subdivisées. Quel est le nombre minimum de
segments de droite requis pour former le dessin décrit?
23) 1 + 10^1.234.567.890
triangles sont dessinés sur une surface plate. Quel est
le nombre maximum de surfaces diverses non-subdivisées
qui peut être formé par l·intersection de
ces triangles? (Proposé par Rodrigo de Almeida Rodrigues)
24) Le dernier
Théorème de Fermat affirme qu'il n'existe pas d'entiers
positifs non nuls a, b, c vérifiant
l'équation a^n + b^n = c^n
lorsque n est un entier supérieur à 2. En 1992 je
l·ai démontré d·une manière
simple mais incorrecte. La démonstration est cette-ci:
le Théorème de Fermat est une généralisation
du Théorème de Pythagore. Le Théorème
de Pythagore propose que la somme des surfaces des carrés
construits sur les cathedres d·un triangle-rectangle totalisent
une surface égale à celle du carré construit
sur l·hypoténuse de ce même triangle-rectangle
(a^2 + b^2 = c^2). Si nous
essayons d·élargir ce théorème, en
passant de 2 à 3 dimensions (a^3
+ b^3 = c^3), nous avons un prisme triangulaire formé
par le déplacement d·un triangle-rectangle le long
d·un axe perpendiculaire à son côté,
comme le montre la figure ci-dessous. Nous pouvons construire
un cube sur l·un des trois côtés quadrangulaires
de ce prisme.
Deux de ces côtés correspondent aux deux cathedres
du triangle-rectangle (ADFB, BFEC), et le côté plus
grand correspond à l· hypoténuse (ADEC).
Il est possible de construire un cube sur l·un de ces côtés,
et cela implique que les 4 arêtes de ce côté
sont égales. Cela se répercute sur le prisme entier
en faisant que le cube qui sera construit sur l·autre côté
ait les mêmes dimensions que celui construit sur le premier,
car si AB=BF et BF=BC, AB=BC. De cette façon, le troisième
côté ne peut jamais avoir un cube construit sur lui,
car si AC représente l·hypoténuse, AC ne
peut pas être égal à AB, donc a^n
+ b^n = c^n n·a pas de solution pour n = 3.
En maintenant cette ligne de raisonnement, nous pouvons démontrer
que la démonstration est valide pour n·importe quel
nombre de dimensions plus grande que 2. Où se trouve l·erreur
de cette démonstration?
Niveau
VII
25) Un système
d·engrenages consiste en la superposition de 5 disques
concentriques: A, B, C, D et E, qui restent sur une plate-forme
rigide, assumée comme référence statique.
Les dimensions des disques sont différentes et ils tournent
à des vitesses différentes. Chaque disque a une
vitesse uniforme, et quelques-uns tournent dans le sens des aiguilles
d·une montre, quelques-uns dans le sens inverse des aiguilles
d·une montre. Chaque disque a un point rouge à sa
surface, et initialement tous ces points rouges ne sont pas alignés.
À un moment donné, tous les disques commencent à
tourner simultanément, chaque disque à son propre
rythme, sans aucun contact entre les disques. Le disque A a besoin
de 7 minutes pour faire un tour complet (360 degrés), le
disque B a besoin de 13 minutes, le disque C a besoin de 17 minutes,
le disque D a besoin de 19 minutes et le disque E a besoin de
23 minutes. Après quelque temps, tous les points rouges
se trouvent alignés, le disque A étant dans la même
position dans laquelle il se trouvait deux minutes après
le commencement du mouvement, le disque B étant dans la
même position dans laquelle il se trouvait 3 minutes après
le commencement du mouvement, le disque C étant dans la
même position dans laquelle il se trouvait 4 minutes après
le commencement du mouvement, le disque D étant dans la
même position dans laquelle il se trouvait 7 minutes après
le début du mouvement et le disque E étant dans
la même position dans laquelle il se trouvait 9 minutes
après le commencement du mouvement. Combien de temps s·est-il
passé du début du mouvement jusqu·à
ce que les disques soient arrivés pour la première
fois dans cette configuration?
26) Pedrinho
est entré dans la Papeterie de Dona Maria. Il a demandé
à Dona Maria de lui vendre une règle géométrique
pour dessiner une spirale avec un petit cercle concentrique. Dona
Maria, membre de Sigma Society, a dit au garçon qu·elle
n·avait pas de règles pour dessiner des spirales.
Toutefois, après avoir réfléchi profondément
au problème, elle a découvert une façon de
faire un tel dessin, et elle a expliqué la méthode
au garçon. Tout de suite, elle lui a vendu le matériel
nécessaire qu·il a payé avec un billet de
US$ 10,00, en recevant un peu de monnaie en retour. Il est rentré
chez lui et il a fait le dessin sans difficultés. Décrivez
la méthode pour accomplir la tâche de Pedrinho, en
disposant des mêmes US$ 10,00 pour acheter le matériel
nécessaire. Le dessin doit être suffisamment reconnaissable
comme le modèle décrit (spirale avec cercle concentrique),
sans grandes irrégularités dans la spirale.
27) Un homme
inhale profondément, en remplissant ses poumons complètement.
Après il retient sa respiration et un mètre à
ruban est utilisé pour mesurer le périmètre
de son thorax, mesurant 106 cm dans ces conditions. Tout de suite,
l·homme expire jusqu·a ce que ses poumons libèrent
tout l·air. Son thorax est mesuré de nouveau et
cette fois son périmètre est de 84 cm. En disposant
de US$10,00 pour acheter du matériel, de quelle manière
est-ce que l·on peut savoir combien d·air ses poumons
sont capables de contenir?
28) La vitesse
de réaction d·une personne peut être déterminée
en mesurant le temps qui s·écoule entre un stimulus
et une réaction provoquée par ce stimulus. Par exemple:
Une lampe reste éteinte pendant que nous l·observons.
Quand on reçoit le stimulus ·la lampe s·est
allumée·, la réaction sera ·fermer
les yeux·. Plus court le temps entre ·la lampe s·est
allumée· et ·fermer les yeux·, plus
rapides les réflexes. Décrivez une méthode
pour déterminer la vitesse de réaction des gens
sans utiliser aucun chronomètre ou n·importe quel
équipement permettant de mesurer des intervalles de temps
plus courts que 1 seconde. On peut élaborer une méthode
rustique en disposant de US$1,00 pour acquérir de l·équipement
et on peut élaborer une méthode sophistiquée,
de haute précision, en disposant de US$1000,00. Décrivez
une méthode pour chacun des deux budgets.
29) En 1993,
dans un essai sur Science et Religion, j·ai décrit
un projet de construction d·une ·machine d·invisibilité·.
Pendant la description des détails, j·ai réalisé
que certains problèmes étaient insolubles, pas seulement
à cause de limitations technologiques, mais aussi pour
des questions physiques, qui imposent des limites théoriques
et éventuellement insurmontables. Le projet part de l·idée
centrale que, pour rendre un objet invisible, il faut qu·un
observateur externe regardant dans la direction de cet objet cesse
de percevoir, à l·aide des organes de la vue, sa
présence.
Cela peut être fait de la façon suivante: on construit
une sphère, et toute la surface externe de cette sphère
est couverte de minuscules caméras et moniteurs de télévision
à très haute résolution. Des millions ou
milliards de caméras et moniteurs doivent couvrir toute
la sphère de telle manière que chaque moniteur transmette
l·image captée par la caméra située
dans le point diamétralement opposé. Le résultat
sera comme le montre la figure ci-dessous.
L·image de l·objet (carré bleu) est captée
par une caméra située au point A. Cette caméra
transmet l·image au moniteur situé au point M, de
telle sorte qu·un observateur situé au point O verra
le carré bleu comme s·il n·avait rien devant
lui. De cette façon, tout ce qui est situé à
l·intérieur de la sphère sera invisible pour
l·observateur externe. Mais ce schéma pose deux
problèmes, dont l·un peut être résolu
en théorie, alors que l·autre n·a pas de
solution. Indiquez ces deux problèmes et expliquez pourquoi
l·un d·eux peut être résolu et l·autre
pas.
Niveau
VIII
30) La mine
de plomb grise et poreuse des crayons est composée d·un
mélange de graphite et d·argile, et nous ne savons
pas quelles sont leurs proportions. Quand on écrit avec
un crayon sur une feuille de papier, une couche fine de matériau
reste sur la feuille. Décrivez une méthode pour
calculer la masse de la mine de plomb dans le point de la lettre
·i·, en disposant de seulement US$10,00 pour acheter
le matériel nécessaire à l·expérience.
31) Nous avons
un ruban de 0,01 cm d·épaisseur et un cylindre de
50 cm de rayon. L'hauteur du cylindre égale la largeur
du ruban. Sachant que l·un des côtés larges
du ruban est inextensible et que l·épaisseur du
ruban ne varie pas, quelle est la longueur minimum du ruban nécessaire
pour enrouler le ruban 9 fois autour du cylindre (tous les ronds
superposés comme dans un rouleau de ruban adhésif).
Le haut et le bas du cylindre ne doivent pas être couverts
de ruban. Il faut indiquer la solution avec 14 chiffres significatifs
et il n·est pas permis de couper le ruban ou de couper
ou déformer le cylindre.
32) Un navire
sophistiqué plane comme un colibri sur un terrain situé
sur la ligne équatoriale d·une planète, à
1.000 mètres d·altitude. Cette planète est
parfaitement sphérique, homogène et possède
un petit satellite qui décrit une orbite circulaire sur
un plan parallèle à son équateur. À
15:58:30 h, un homme saute en parachute de ce navire, et descend
perpendiculairement à terre. Au moment où il saute,
il observe que le satellite est en train de ·naître·
à l´horizon à l·Est. Il atterrit et,
sans changer de place, continue à observer le satellite
qui, à 17:40:00 h, atteint le zénith. Il reste à
la même place, en observant·et à 19:20:00
h il voit le satellite disparaître à l´horizon
à l·Ouest. Toujours sans quitter la place, à
22:40:00 h, il observe le satellite en train de naître de
nouveau à l·est. Quel est le diamètre approximatif
de cette planète? Justifiez votre réponse
et expliquez l·utilité de chaque element d·information
dans l·énoncé. Expliquez aussi pourquoi la
valeur obtenue ne peut pas être exacte. (Si vous avez des
doutes quant au sens des mots zénith, horizon, équateur,
orbite etc., vous pouvez consulter des livres et encyclopédies)
Niveau
IX
33) Décrivez
une méthode pratique et rapide qui permette de déterminer
avec bonne précision le nombre de mots qui constituent
le vocabulaire d·une personne.
34) Il y avait
un brillant anthropologiste, membre de Sigma V, appelé
João. Pendant une expédition en Afrique, il a été
fait prisonnier par une tribu de cannibales et il a été
condamné à servir de repas. Mais la ·législation·
de cette tribu offre aux prisonniers une occasion d·être
libérés, à condition qu·ils soient
capables de relever un défi.
Dans le cas de João, le défi était le suivant:
on lui présenterait deux oeufs, un cru et l·autre
à la coque. Chaque oeuf resterait dans une boîte.
Les parois de ces boîtes sont rigides et opaques. Les boîtes
ont la forme de parallélépipèdes. L·une
des boîtes a une fenêtre sur un de ses côtés,
et cette fenêtre est couverte par un grillage par lequel
il est possible d·observer l·oeuf dans la boîte.
Le défi consiste à identifier l·oeuf cru
en 2 minutes. Les oeufs ne peuvent pas être cassés
ou retirés de l·intérieur des boîtes,
et les boîtes ne peuvent pas être ouvertes.
João est informé que ce défi lui sera présenté
au bout de 90 jours. D·ici là, il aura l·appui
des membres du village pour chercher un moyen de résoudre
le problème. En plus de cela, João disposera de
tous les instruments ·sophistiqués· et de
tout ce qu·il y a dans le village ou dans les environs.
Le jour du défi arrive et, au lever du soleil, les yeux
de João sont bandés et ses mains sont liées.
Quelques minutes plus tard, un vieillard du village fait cuire
un oeuf. Après, il essuie l·oeuf, il le met dans
une boîte, et il ferme la boîte. Il prend un oeuf
cru et il le met dans une autre boîte, en fermant la boîte
tout de suite. On place les boîtes sur une table où
elles restent jusqu·au coucher du soleil. Après,
João est détaché, le bandeau devant ses yeux
est enlevé, il est muni de l·équipement qu·il
avait demandé, et on l·emmène à la
table sur laquelle se trouvent les deux boîtes contenant
les oeufs.
Il examine les boîtes soigneusement et réussit à
identifier l·oeuf cru. On répète le défi
chaque jour pendant les 20 prochains jours, chaque fois avec des
oeufs différents, et chaque fois il réussit à
accomplir la tâche.
En admiration devant cela, les cannibales reconnaissent la valeur
du notable anthropologiste. Ils décident de le libérer
et en plus ils lui font cadeau des bijoux. Comment João
a-t-il réussi à se sauver?
Topo
