1) Nous avons un ruban de 0,01 cm d’épaisseur et 1 cm de largeur, et un cylindre de 50 cm de rayon et 1 m de hauteur. Sachant que l’un des côtés larges du ruban est inextensible et que l’épaisseur du ruban ne varie pas, quelle est la longueur minimum du ruban nécessaire pour enrouler le ruban 9 fois autour du cylindre (tous les ronds superposés comme dans un rouleau de ruban adhésif). Il faut indiquer la solution avec 14 chiffres significatifs et il n’est pas permis de couper le ruban ou de couper ou déformer le cylindre.

2) Un homme arabe et une femme israélienne sont enlevés par des extraterrestres. Les E.Ts. promettent de les ramener indemnes sur Terre s’ils sont capables d’accomplir la tâche suivante: il y a trois salles, désignées A, B et C. Chaque salle est carrée et a approximativement 25m2. Les salles sont construites de manière que chacune possède deux portes, et que chacune de ces portes donne accès à une des deux autres salles. Les trois salles sont acoustiquement isolées, et elles ne possèdent pas de meubles ni de fenêtres. Les murs, les portes, le plafond et le sol sont rigides et opaques et n’ont pas de fentes, trous, passages secrets ou de choses pareilles. On place l’homme dans la salle A et la femme dans la salle B. Ils reçoivent ces instructions :  
1 - Les deux auront un délai d’ 1 heure pour parcourir les trois salles et retourner à la salle d’origine, en marchant toujours dans le sens A-B-C-A.  
2 - Les deux devront rester assis, sur le sol, au centre de leur salle respective, jusqu’à ce que un signal soit émis, indiquant le commencement du decompte du temps. Le signal consistera en ceci: dans chaque porte il y aura deux lampes (une de chaque côté de la porte), et le signal sera donné quand toutes ces lampes s’allumeront presque simultanément. Chaque lampe sera suffisamment lumineuse pour qu’elle puisse être facilement remarquée, même si on n’était pas en train de faire attention à elle.  
3 - Au moment où la femme touchera le bouton de la porte d’une salle, l’homme ne pourra plus être dans cette salle-là.  
4 - Au moment où l’homme touchera le bouton de la porte d’une salle, la femme ne pourra plus être dans cette salle-là.  
5 - La femme devra se lever après l’homme.  
6 - L’homme et la femme ne pourront établir aucun genre de communication ou obtenir de quelqu’un d’autre de l’information permettant à l’un d’entre eux de savoir où se trouve l’autre. Ils ne pourront pas battre les murs et les portes ou essayer de produire une quelconque onde de choc. En sortant d’une salle et en entrant dans une autre, il faudra fermer la porte correspondante. D’abord toutes les portes seront fermées. Deux ou plus de deux portes ne peuvent pas rester ouvertes simultanément.  
7 - Ni l’un ni l’autre n’aura une montre ou n’importe quel autre instrument qui lui permette de déterminer l’écoulement du temps.  
8 – À 1 minute de la fin, le signal lumineux sera donné de nouveau, indiquant que le délai sera bientôt fini.  
9 - Quand le délai de 1 heure sera atteint, l’homme devra se trouver assis au centre de la salle A et la femme devra se trouver assise au centre de la salle B.  
10 - La femme devra s´asseoir après l’homme.  
11 - L’homme est informé que la femme est exceptionnellement intelligente.  
12 - La femme est informée que l’homme est exceptionnellement intelligent.  
L’homme et la femme ne se connaissaient pas auparavant, ils n’avaient jamais été en contact auparavant, et ils sont restés privés de communications pendant tout le processus (pour rendre l’énoncé plus clair, disons que les deux étaient sourds et muets). L’expérience est répétée 10 fois et chaque fois ils réussissent à accomplir la tâche avec succès. Il est donc clair que leur succès n’est pas dû à la chance. Alors ils sont retournés sur Terre, ils se sont convertis au zoroastrisme, ils se sont mariés et ils vivent toujours heureux! Décrivez le procédé qu’ils utilisent et la pensée de chacun.  

3) Un hyperespace orthogonal de dimension 256 contient une hypersphère de dimension 6 que nous souhaitons diviser en autant de morceaux que possible avec un maximum de 12 coupes. Les morceaux ne peuvent pas être déplacés de leurs positions originales. Chaque coupe est un hyperespace Euclidien orthogonal de dimension 5 (hyperplan). Quel est le nombre maximal de morceaux qui peut être obtenu?

4) Une île est habitée seulement par des mouettes. Certaines de ces mouettes ont attrapé une maladie mortelle, qui n’est cependant pas contagieuse. Le seul symptôme de la maladie est une tache sombre dans la nuque, mais sans protubérance ou augmentation de la sensibilité dans la région. Ainsi, il est impossible pour une mouette atteinte d’en avoir conscience. Après quelques mois, les mouettes infectées meurent dans des souffrances terribles. Pour éviter cette souffrance, dès qu’une mouette est sûre d’avoir attrapé la maladie, elle se suicide le même jour à 23:00h. Ces mouettes sont très intelligentes, mais ne peuvent pas communiquer entre elles. Elles savent compter et connaissent le nombre total de mouettes dans l'île. Une fois par jour, à 12:00h, toutes les mouettes se réunissent et peuvent voir les taches sur les nuques des autres, mais ne peuvent jamais voir si elles ont une tache sur leur propre nuque ni recevoir cette information d'autres mouettes. Si une mouette a une tache sur sa nuque, elle a nécessairement la maladie. Pendant les 39 premiers jours, aucune mouette ne se suicide. Après 39 jours et 39 réunions, toutes les mouettes qui ont une tache dans la nuque se  suicident à 23:00h. Le nombre total de mouettes est resté constant entre la première réunion et le jour des suicides. Combien de mouettes se sont-elles suicidées et comment ont-elles découvert qu'elles avaient une tache sur la nuque?  

5) Dans la position initiale du jeu d’échecs, les blancs disposent de 20 premiers coups différents. Quel que soit le premier coup des blancs, les noirs ont aussi 20  premiers coups à leur disposition. Ainsi, nous pouvons calculer qu'après que les blancs et les noirs ont fait leurs premiers coups, 400 positions différentes sont possibles sur l’échiquier. On considère actuellement qu’il existe environ 100 milliards de galaxies dans l'univers et que chaque galaxie contient en moyenne environ 100 milliards d'étoiles. La masse moyenne d'une étoile de la séquence principale représente approximativement 0,7 fois la masse du Soleil, c.-à-d. environ 1,4x10^33g. Dans la mesure où le nombre d'Avogadro représente approximativement 6x10^23mol^-1 et sachant que 90% des atomes de l'univers sont de l'hydrogène (masse atomique ~1) et 9% sont de l'hélium (masse atomique ~4), nous pouvons calculer que le nombre d'atomes dans l'univers est approximativement de 6x10^78. Est-ce que le nombre maximal de positions différentes qui peuvent se produire sur un échiquier après une partie de 29 coups (29 pour blancs et 29 pour les noirs) est plus grand ou plus petit que le nombre d'atomes dans l'univers? Expliquez comment vous êtes arrivé à votre réponse et donnez le nombre total de positions différentes qui peuvent se produire dans toute les parties d’échecs possibles.   
cliquez ici pour avoir certains indices. 

Pour des raisons pratiques, étant donné que quelques solutions peuvent être très longues, vous devez avoir résolu correctement au moins une des 5 premières questions pour que les questions suivantes soient corrigées. Autrement votre épreuve se terminera ici et votre score sera celui que vous avez obtenu pour les 5 premières questions.  
  
6) Un extraterrestre originaire d’une planète distante arrive sur terre. Ses membres ressemblent à des bras et à des jambes. Après avoir atterri sur un champ, il est attaqué par un fermier qui lui sectionne une jambe à hauteur du genou. Pas heureux de la manière avec laquelle il a été accueilli, il retourne vers sa planète. Le voyage dure plusieurs millions d'années. Après avoir examiné la jambe coupée par le fermier, les exobiologistes concluent qu'elle ne peut appartenir qu’à un extraterrestre. Le fermier leur explique comment il a coupé la jambe et leur décrit l'extraterrestre comme un hominidé ayant une grande tête, chauve, de longs membres et des mouvements lents. Les scientifiques décident alors d’envoyer des messages dans différentes directions pour informer les habitants de la planète d’origine de l'extraterrestre que leur émissaire a perdu une jambe. Seulement deux types de signaux peuvent être transmis, représentés par deux fréquences différentes (signaux binaires). Bien que les scientifiques ne connaissent pas la langue des extraterrestres, ils réussissent à trouver une façon d'exprimer l'information désirée. Décrivez une façon de transmettre l'information à propos de la jambe amputée de l'extraterrestre. Ayez présent à l’esprit que les extraterrestres qui reçoivent le message sont extrêmement intelligents.  
  
7) S’il était possible de se rendre sur une planète amicale située à des millions d'année-lumière de la Terre, comment décririez-vous « une orange » à un extraterrestre intelligent qui ne sait rien au sujet de notre culture ? 

8) Créez un modèle fonctionnel d'un univers fictif. L'univers devrait être aussi différent que possible du nôtre et gouverné par des lois cohérentes. Vous n'avez pas besoin de connaissances en physique. Il suffit que votre univers soit cohérent.  

Vos réponses aux question  9 et 10 seront corrigés seulement si vous obtenez au moins 3 réponses correctes parmi les 8 premières. Autrement, votre épreuve finira ici et votre score sera celui que vous avez obtenu pour  les 8  premières questions. 

9) Lesquelles des phrases ci-dessous ne peuvent pas être fausses ? Justifiez vos réponses. 
a) Le Soleil ne peut pas avoir la forme d'un cube.  
b) Le rapport pi/2 ne peut pas être plus petit que la racine carrée de 2.  
c) Une personne ne peut pas avoir 3 bras.  
d) Un animal ne peut pas observer avec d’autres organes que les yeux.  
e) Les choix « a » et « b » sont corrects.  
f) Les choix « a » et « c » sont corrects.  
g) Les choix « a » et « d » sont corrects.  
h) Les choix « b » et « c » sont corrects.   .  
i) Les choix « b » et « d » sont corrects.  
j) Les choix « c » et « d » sont corrects.  
k) Les choix « a », « b » et « c » sont corrects.  
l) Les choix « a », « b » et « d » sont corrects.  
m) Les choix « a », « c » et « d » sont corrects.  
n) Les choix « b », « c » et « d » sont corrects.  
o) Tous les choix antérieurs sont corrects.  
p) Aucun des choix antérieurs n’est correct.  

10) Lesquelles des phrases ci-dessous ne peuvent pas être fausses ? Justifiez vos réponses. 
a) La Terre tourne autour du Soleil  
b) Les chats ne peuvent pas pondre des oeufs.  
c) Vous ne pouvez pas être moi.  
d) Si Jean est le fils de Pierre, Jean est né après Pierre.  
e) Les choix « a » et « b » sont corrects.  
f) Les choix « a » et « c » sont corrects.  
g) Les choix « a » et « d » sont corrects.  
h) Les choix « b » et « c » sont corrects.   .  
i) Les choix « b » et « d » sont corrects.  
j) Les choix « c » et « d » sont corrects.  
k) Les choix « a », « b » et « c » sont corrects.  
l) Les choix « a », « b » et « d » sont corrects.  
m) Les choix « a », « c » et « d » sont corrects.  
n) Les choix « b », « c » et « d » sont corrects.  
o) Tous les choix antérieurs sont corrects.  
p) Aucun des choix antérieurs n’est correct.