A paralaxe é um método trigonométrico simples usado para calcular distâncias astronômicas há pelo menos 2150 anos e é usada para distâncias de estrelas há mais de 150 anos. Continua sendo usado em todos os observatórios do mundo (inclusive telescópios em órbita, como o Hubble) para calcular as distâncias dos objetos próximos, como estrelas situadas a menos de 5.000 anos-luz. Em 1990, a Agência Espacial Européia (ESA - http://sci.esa.int) colocou em órbita o telescópio Hipparcus, cujo nome é uma homenagem ao astrônomo grego que foi o primeiro a calcular a distância de um astro (a Lua) usando paralaxe. A finalidade da missão Hipparcus é justamente medir as distâncias das estrelas vizinhas.

Embora o método da paralaxe seja excelente, quando é usado para a determinação das distâncias de estrelas, existe uma maneira de obter acurácia muito superior ao “método cru”. Para compreender melhor esse processo, convém dar uma olhada no artigo de nosso amigo Albert Frank http://users.skynet.be/albert.frank/interpstat.htm. Segue um resumo da idéia abordada no artigo:

Mais de 95% dos médicos formados em Harvard resolvem incorretamente o seguinte problema:

“Desejamos saber se uma pessoa é portadora de uma determinada doença e temos um teste com 99% de confiabilidade, que é usado para determinar se uma pessoa tem a tal doença. Então escolhemos fortuitamente uma pessoa numa população em que há 1% de infectados e aplicamos o teste nessa pessoa. O resultado é positivo. Qual é a probabilidade de que a pessoa escolhida esteja de fato com a doença? Os médicos quase sempre respondem 99% ou algo assim, mas a resposta certa seria 50%, porque não se pode apenas levar em conta a probabilidade do teste produzir resultados corretos. Além disso é necessário levar em conta a probabilidade de que a pessoa escolhida estava infectada. A probabilidade da pessoa não estar infectada numa população em que 99% não estão infectados é obviamente de 99%. A probabilidade do teste dizer que a pessoa tem a doença e a pessoa realmente ter a doença também é de 99%. Então são iguais as chances da pessoa estar infectada ou não estar infectada, ou seja: meio a meio.

Agora vejamos como os cálculos das distâncias das estrelas podem ser aprimorados: a paralaxe que o satélite Hipparcus mediu para Mu Cephei é p=0,00062" com std. err. 0,00052" (1 std. err. = 0,6745 sd).

Esses dados sugerem que:

Há 25% de probabilidade de que a verdadeira paralaxe seja menor que 0,00010”.
Há 25% de probabilidade de que a verdadeira paralaxe seja maior que 0,00114".

Mas isso é falso, porque indica que há 21,06% de chances de que a paralaxe seja menor que 0”. Aqui convém fazer um comentário adicional: em todos os casos como esse, em que a incerteza é tão grande quanto a própria grandeza medida, a incerteza deveria ser expressa em log(p), porque uma paralaxe negativa não faz sentido. Então a paralaxe e sua incerteza deveriam ser representadas por: log(p)=-3,2076, log[std. err.(p)]=0.2645 e haveria 25% de chances de a paralaxe ser maior que 0,00114” (0,00062*1,84) e 25% de chances de ser menor que 0,00034” (0,00062/1,84). Claro que isso não poderia ser simplesmente expresso assim. Antes de usar logs, seria preciso que a coleta dos dados fosse feita calculando as incertezas nos logs das paralaxes, em vez das incertezas nas próprias paralaxes, além disso a incerteza deveria ser expressa como std. err. no log(p), em vez de log do std. err.(p).

Mas esse não é o ponto chave. O detalhe mais interessante é que há 25% de chances da paralaxe ser maior que 0,00114” e isso é muito maior do que a probabilidade de uma estrela escolhida fortuitamente ter luminosidade maior que a de Mu Cephei. Em outras palavras, com base na medida do Hipparcus, há 50% de chances de que a verdadeira paralaxe de Mu Cephei seja maior que 0,00062” e 50% de chances de que seja menor que 0,00062”. Mas, com base na distribuição estatística das estrelas em função da luminosidade, dentro da classe espectral observada, há 5% de chances de que uma estrela escolhida fortuitamente numa população de supergigante M2 tenha luminosidade igual à que Mu Cephei teria se estivesse à distância correspondente a uma paralaxe menor que 0,00062” e há 95% de chances de que uma estrela tenha luminosidade igual a que Mu Cephei teria se estivesse à distância correspondente a uma paralaxe maior que 0,00062” (estou supondo que a luminosidade bolométrica média das estrelas M2Ia é cerca de 10.000 vezes a do sol). Logo, é cerca de 20 vezes mais provável que a paralaxe de Mu Cephei seja maior que 0,00062” do que a probabilidade de ser menor que 0,00062”, então é claro que 0,00062” não é o valor que melhor representa a paralaxe “verdadeira”. Para determinar com mais exatidão a paralaxe mais provável _ isto é, aquela em que haja 50% de chances do valor verdadeiro ser maior e 50% de chances de ser menor _, é necessário encontrar a distância na qual a probabilidade da estrela ter tal luminosidade acima ou abaixo da média seja igual à probabilidade da paralaxe estar tantos desvios-padrão abaixo ou acima da paralaxe medida.

No caso de Mu Cephei, para que a paralaxe fosse 0,00062”, ela deveria estar a 5.260 anos-luz de nós e, se estivesse a essa distância, ela teria luminosidade visual 55.000 vezes maior que o Sol e luminosidade bolométrica 580.000 vezes maior que a do Sol.

Se a paralaxe medida estivesse certa, Mu Cephei seria 58 vezes mais luminosa que a média de sua classe e, portanto, 20 vezes mais rara. Considerando isso, temos que a paralaxe mais provável de ser correta é 0,00144”. Esse valor é 5,4 vezes mais provável de ser correto do que 0,00062”. Então a distância mais provável para Mu Cephei é 2.265 anos-luz, mais preciso e mais acurado que o valor oficialmente adotado (5.260 anos-luz).

O método que proponho não se aplica apenas nos casos das estrelas cujas incertezas nas paralaxes sejam tão grandes quanto as próprias paralaxes, mas em todos os casos. Claro que a principal vantagem é corrigir disparidades nos casos em que há grande incerteza, mas o método também ajuda a refinar todos os outros cálculos. Para Sírius, por exemplo, cuja paralaxe é conhecida com boa precisão, o Hipparcus dá p=0,37921" com std err.=0,00158". Uma estrela do tipo A0/A1, como é o caso de Sírius A, tem, em média, magnitude absoluta 0.85, mas Sirius A tem magnitude 1.45, portanto ela é 1,74 vezes menos luminosa que a média de sua classe espectral e tem massa 1,15 vezes menor que média de sua classe, logo ela tem vida 1,5 vezes maior que a média de sua classe e podemos supor que seja 1,5 vezes mais abundante do que a média da classe A0/A1, portanto, para que ela tivesse abundância igual à média, deveria estar um pouco mais distante. Então a paralaxe que tem maior probabilidade de ser correta não é 0,37921”, mas cerca de 0,26sd maior, ou seja: 0,37860" (1,2 vezes mais provável que 0,37921”).

Para os sistemas binários e múltiplos, o cálculo de correção pode ser feito individualmente, para cada componente, e depois usada a média ponderada como distância mais provável.

A mesma idéia pode ser aplicada também em outros métodos para determinar distâncias. Por exemplo: se um quasar apresenta desvio para o vermelho muito pequeno e a incerteza nesse desvio é grande, então pode-se situá-lo mais longe com base na raridade de quasares pouco luminosos, usando o mesmo critério.