Quando é determinada a paralaxe de uma estrela, se não for levado em conta o nível de raridade de estrelas com características tão ou mais raras que as da tal estrela, o valor resultante estará negligenciando um fato muito importante, que é a probabilidade combinada de dois eventos P(A) e P(B), sendo P(A) a probabilidade da paralaxe verdadeira estar determinada quantidade de desvios-padrão afastada do valor médio obtido empiricamente, e P(B) a probabilidade da estrela ter as características que a tal estrela teria se estivesse à distância correspondente à paralaxe obtida empiricamente.

Vejamos um exemplo prático de como os cálculos das distâncias das estralas podem ser aprimorados: a paralaxe que o satélite Hipparcus mediu para Mu Cephei é p=0,00062" com std. err. 0,00052". Os dados sugerem que:

Há 25% de probabilidade de que a verdadeira paralaxe seja menor que 0,00010”.
Há 25% de probabilidade de que a verdadeira paralaxe seja maior que 0,00114".

Mas isso é falso, porque indica que há 21,06% de chances de que a paralaxe seja menor que 0”. Aqui convém fazer um comentário adicional: em todos os casos como esse, em que a incerteza é tão grande quanto a própria grandeza medida, a incerteza deveria ser expressa em log(p), porque uma paralaxe negativa não faz sentido. Então a paralaxe e sua incerteza deveriam ser representadas por: log(p)=-3,2076, log[std. err.(p)]=0.2645 e haveria 25% de chances de a paralaxe ser maior que 0,00114” (0,00062*1,84) e 25% de chances de ser menor que 0,00034” (0,00062/1,84). Claro que isso não poderia ser simplesmente expresso assim. Antes de usar logs, seria preciso que a coleta dos dados fosse feita calculando as incertezas nos logs das paralaxes, em vez das incertezas nas próprias paralaxes, além disso a incerteza deveria ser expressa como std. err. no log(p), em vez de log do std. err.(p).

Mas esse não é o ponto chave. O detalhe mais interessante é que há 25% de chances da paralaxe ser maior que 0,00114” e isso é muito maior do que a probabilidade de uma estrela escolhida fortuitamente ter luminosidade maior que a de Mu Cephei. Em outras palavras, com base na medida do Hipparcus, há 50% de chances de que a verdadeira paralaxe de Mu Cephei seja maior que 0,00062” e 50% de chances de que seja menor que 0,00062”. Mas, com base na distribuição estatística das estrelas em função da luminosidade, dentro da classe espectral observada, há 5% de chances de que uma estrela escolhida fortuitamente numa população de supergigante M2 tenha luminosidade igual à que Mu Cephei teria se estivesse à distância correspondente a uma paralaxe menor que 0,00062” e há 95% de chances de que uma estrela tenha luminosidade igual a que Mu Cephei teria se estivesse à distância correspondente a uma paralaxe maior que 0,00062” (estou supondo que a luminosidade bolométrica média das estrelas M2Ia é cerca de 10.000 vezes a do sol). Logo, é cerca de 20 vezes mais provável que a paralaxe de Mu Cephei seja maior que 0,00062” do que a probabilidade de ser menor que 0,00062”, então é claro que 0,00062” não é o valor que melhor representa a paralaxe “verdadeira”. Para determinar com mais exatidão a paralaxe mais provável _ isto é, aquela em que haja 50% de chances do valor verdadeiro ser maior e 50% de chances de ser menor _, é necessário encontrar a distância na qual a probabilidade da estrela ter tal luminosidade acima ou abaixo da média seja igual à probabilidade da paralaxe estar tantos desvios-padrão abaixo ou acima da paralaxe medida.

No caso de Mu Cephei, para que a paralaxe fosse 0,00062”, ela deveria estar a 5.260 anos-luz de nós e, se estivesse a essa distância, ela teria luminosidade visual 55.000 vezes maior que o Sol e luminosidade bolométrica 580.000 vezes maior que a do Sol.

Se a paralaxe medida estivesse certa, Mu Cephei seria 58 vezes mais luminosa que a média de sua classe e, portanto, 20 vezes mais rara. Considerando isso, temos que a paralaxe mais provável de ser correta é 0,00144”. Esse valor é 5,4 vezes mais provável de ser correto do que 0,00062”. Então a distância mais provável para Mu Cephei é 2.265 anos-luz, mais preciso e mais acurado que o valor oficialmente adotado (5.260 anos-luz).

O método que proponho não se aplica apenas nos casos das estrelas cujas incertezas nas paralaxes sejam tão grandes quanto as próprias paralaxes, mas em todos os casos. Claro que a principal vantagem é corrigir disparidades nos casos em que há grande incerteza, mas o método também ajuda a refinar todos os outros cálculos. Para Sírius, por exemplo, cuja paralaxe é conhecida com boa precisão, o Hipparcus dá p=0,37921" com std err.=0,00158". Uma estrela do tipo A0/A1, como é o caso de Sírius A, tem, em média, magnitude absoluta 0.85, mas Sirius A tem magnitude 1.45, portanto ela é 1,74 vezes menos luminosa que a média de sua classe espectral e tem massa 1,15 vezes menor que média de sua classe, logo ela tem vida 1,5 vezes maior que a média de sua classe e podemos supor que seja 1,5 vezes mais abundante do que a média da classe A0/A1, portanto, para que ela tivesse abundância igual à média, deveria estar um pouco mais distante. Então a paralaxe que tem maior probabilidade de ser correta não é 0,37921”, mas cerca de 0,26sd maior, ou seja: 0,37860" (1,2 vezes mais provável que 0,37921”).

Para os sistemas binários e múltiplos, o cálculo de correção pode ser feito individualmente, para cada componente, e depois usada a média ponderada como distância mais provável.

A mesma idéia pode ser aplicada também em outros métodos para determinar distâncias. Por exemplo: se um quasar apresenta desvio para o vermelho muito pequeno e a incerteza nesse desvio é grande, então pode-se situá-lo mais longe com base na raridade de quasares pouco luminosos, usando o mesmo critério.

Para compreender melhor o método proposto, veja esta página:
http://users.skynet.be/albert.frank/interpstat.htm