1)  1976 var Marcelo 11 år gammal. Hur gammal var han 1999? 

2)  Om 13 kulor kostar $3.90, hur mycket kostar 31 kulor? 

3)  En låda har följande mått: 60 cm x 50 cm x 30 cm. Vad är det maximala antalet mindre lådor med dimensioner 10 cm x 10 cm x 10 cm som kan få plats i den stora lådan? 

4)  12 personer gör ett jobb på 12 dagar. Hur många personer behövs det för att göra samma jobb på en dag?
 
5)  En boksamling består av 12 band. Det finns 300 sidor i varje band, 50 rader på varje sida och 100 bokstäver på varje rad. Vad är det totala antalet bokstäver i samlingen?
 
 
Nivå II 

6)  Ett företag har ett tillräckligt stort lager för att täcka behovet för 2500 kunder i 12 månader. Hur långt skulle lagret räcka i fall antalet kunder ökade till 6000? 

7)  Om en häst kan dra 600 kilogram, hur många hästar behövs för att dra 6150 kg?  

8)  Fernanda och Andrea är tillsammans 18 år gamla. Hur gammal är var och en av dem, om man vet att Andrea är två gånger äldre än Fernanda.  
 
 
Nivå III 

9)  Ricardo väger 30% mer än José. Om Ricardo förlorar 10% av sin vikt och Jose går upp 20%, vilken av de är då tyngst? Förklara! 

10)  Ett planetsystem har 9 planeter förutom huvudstjärnan. Varje planet har 7 månar. En av 21 månar har 3 egna månar. Hur många himlakroppar finns det sammanlagt? 
 
11)  I en trappa med 1000 trappsteg finns det 1 gram guld på det första trappsteget, 2 gram på det andra, 3 gram på det tredje, 4 gram på det fjärde, 5 gram på det femte och så vidare. Det finns 1 kg guld på det sista trappsteget. Om man vet att 1 gram guld är värd 11 dollar, beräkna det totala värdet av guld som finns på trappan (i dollar).   
 
  
Nivå IV 
  
12)  99% av personerna i en lokal är män. Hur många män skall lämna lokalen för att andelen skall sjunka till 98%? Det är känt att det finns 3 kvinnor i rummet. 
 
13)  På ett schackbräde med 64 rutor (8x8) kan två kungar placeras på 3612 olika sätt. På hur många olika sätt kan två kungar placeras på ett schackbräde med 117 rutor (13x9)? Två kungar får inte vid någon tidpunkt uppta samma ruta eller två angränsande rutor. 

14)  Marcelo hade ett antal äpplen, varav han gav hälften till sin bror. Denne lät 75% av sina äpplen jämnfördelas mellan hans tre kusiner: Anderson, João and Mané. Anderson köpte 7 äpplen till och gav hälften av alla sina äpplen till sin bror Mané. Mané hade då 17 äpplen. Hur många äpplen fick João? 
  
15)  Maria åkte till en bondgård för att köpa ägg. När hon återvände hem gav hon hälften av äggen till sin syster, som, i sin tur, gav en tredjedel av de ägg hon hade fått till sin pojkvän. Denne, efter att ha ätit en tredjedel, gav resten till sin kusin. Givet att varje ägg väger 70 g och att Maria inte kan bära på mer än 2.5 kg samt att äggen var råa, beräkna hur många ägg kusinen till Marias systers pojkvän fick.  
 
16)  Borgmästeren João och en viktig affärsman, José, som var ogift, hade en stor grillfest. Utöver affärsmannen José, borgmästeren João och hans fru, var antalet gäster lika med antalet hundradollarssedlar som borgmästaren hade spenderat multiplicerat med antalet hundradollarssedlar som affärsmannen hade spenderat. Givet att varje person, i genomsnitt, har konsumerat motsvarande 6.40 dollar och att borgmästaren har investerat 1700 dollar, beräkna hur mycket affärsmanen José hade investerat. (Obs: Affärsmannen José, borgmästaren och hans fru räknas också som konsumenter) 
   
  
Nivå V 
  
17)  En Formel 1 racer kör på en cirkulär bana och fullbordar första varvet på 3 minuter med en genomsnittsfart på 144 km/h. På vilken tid måste det andra varvet köras för att genomsnittsfarten för två varv skall bli 300 km/h?

18) När Antonio tittade på sin klocka såg han att timvisaren låg exakt över minutvisaren. Hur lång tid kommer det att ta för att detta skall ske igen? (båda visarna rör sig med en konstant hastighet)
  
19)  Ett tåg med två vagnar rör sig med en hastighet på 80 km/h från stad X till stad Y, som befinner sig 800 km från varandra. I samma ögonblick som tåget avgick, började en passagerare med att gå fram och tillbaka från den ena till den andra ändan av vagn B med en hastighet på 100 cm/s. När tåget var framme i staden Y hade passageraren redan gått fram och tillbaka 720 gånger. Vagn A är lika lång som vagn B plus en fjärdedel av lokomotivets längd. Lokomotivet är lika långt som vagn A plus en femtedel av längden på vagn B. Hur långt är hela tåget?
   
  
Nivå VI 
  
20)  Några vattenkranar användes för att fylla 6 tankar. Under en timme rann vattnet från alla kranarna in i en behållare som i sin tur fördelade vattnet vidare till fyra tankar: A, B, C och D. Härefter rann vattnet in i en dubbel tratt som riktade halva mängden till tankarna E och F och andra halvan till behållaren som fördelade sitt vatten mellan tankarna A, B, C, och D. Härmed var tankarna A, B, C och D fulla. För att fylla tankarna E och F var det nödvändigt att använda en vattenkran som under två timmar fördelade sitt vatten mellan tankarna E och F. Nu var alla 6 tankar fulla. Hur många vattenkranar användes i början? (Observera: Alla kranar hade exakt samma vattenflöde och volym)  
  
21)  Åtskilliga rektanglar är ritade på en plan yta så att deras skärningslinjer bildar 18769 områden som inte delas ytterligare. Vilket är det minsta antalet rektanglar som måste ritas för att det beskrivna mönstret skall kunna bildas? 
  
22)  Åtskilliga raka linjer är dragna på en plan yta så att deras skärningslinjer bildar 1597 områden som inte delas ytterligare. Vilket är det minsta antalet raka linjer som måste dras för att det beskrivna mönstret skall kunna bildas?
  
23)  1 + 10^1234567890 trianglar är ritade på en plan yta. Vilket är det största antalet områden, som inte delas ytterligare, som kan bildas genom att dessa trianglars sidor skär igenom varandra? (Ett bidrag från Rodrigo de Almeida Rodrigues) 
  
24)  Enligt Fermats sista sats, har a^n + b^n = c^n inga lösningar för n > 2 (a, b, c och n måste vara positiva heltal). 1992 bevisade jag detta på ett enkelt men felaktigt sätt. Det här var min tankegång : Fermats teorem är en generalisering av Pythagoras sats, som säger att summan av areorna av kvadraterna på kateterna i en rätvinklig triangel är lika med arean av kvadraten på triangelns hypotenusa (a^2 + b^2 = c^2). Om vi försöker generalisera detta teorem och går från 2 till 3 dimensioner (a^3 + b^3 = c^3), har vi en triangulär prisma som vi bildar genom att förskjuta en rätvinklig triangel längs en axel lodrätt till dess yta, som illustreras i figuren nedan.
Vi kan konstruera en kub på en av prismans rektangulära ytor. Två av dessa ytor motsvarar den rätvinkliga triangelns kateter (ADFB, BFEC) medan den stora ytan motsvarar triangelns hypotenusa (ADEC). Det är möjligt att göra en kub på en av ytorna, förutsatt att ytans 4 sidor har samma längd. Det här påverkar hela prisman och gör att kuben som konstrueras på ena ytan har samma storlek som kuben som konstrueras på andra ytan, för om AB=BF och BF=BC då är AB=BC. Det här medför att ingen kub kan konstrueras på tredje ytan, för om AC är hypotenusan då kan inte AC vara lika med AB. Därför, har a^n + b^n = c^n ingen lösning för n=3. Följer vi samma resonemang kan vi visa att det inte finns någon lösning för något antal dimensioner större än 2. Vari ligger felet med det här beviset? 
  
  
Nivå VII 
  
25)  Ett visst kugghjulsystem bestående av 5 koncentriska skivor A, B, C, D och E placerade ovanför varandra, var monterat på en stadig plattform som användes som en fast referenspunkt. Skivorna är olika stora och roterar med olika hastigheter. Alla skivor har konstant hastighet; vissa rör sig medurs, andra moturs. Varje skiva har en röd punkt på sin yta och inledningsvis ligger inte dessa punkter i linje med varandra. I ett givet ögonblick börjar alla skivor samtidigt att rotera, med egen hastighet och utan att det finns kontakt mellan dem. Det tar 7 minuter för skiva A, 13 minuter för skiva B, 17 minuter för skiva C, 19 minuter för skiva D och 23 minuter för skiva E att fullborda en 360-graders rotation. Efter en viss tid var alla röda punkter i en rät linje med varandra, med skiva A i samma position som den var 2 minuter efter det att skivorna började rotera, skiva B i samma position som den var 3 minuter efter det att skivorna började rotera, skiva C i samma position som den var 4 minuter efter det att skivorna började rotera, skiva D i samma position som den var 7 minuter efter det att skivorna började rotera och med skiva E i samma position som den var 9 minuter efter det att skivorna började rotera. Hur lång tid gick det från det ögonblicket att skivorna började rotera till dess att skivorna kom till denna konfiguration för första gången?
 
26) Pedrinho gick in i Dona Marias bokhandel och bad om en linjal som kan rita en spiral med liten koncentrisk diameter. Dona Maria, som var medlem i Sigma sällskapet, sa till pojken att det inte fanns en sådan linjal som man kan rita spiraler med. Men efter att ha tänkt igenom problemet fann hon en metod för att göra ritning på det viset och beskrev den för pojken. Hon sa till pojken vilket material hon behövde. Han betalade för materialet med en 10-dollars sedel och fick tillbaka lite växel. Han gick hem och gjorde ritningen utan några som helst problem. Beskriv en metod för att utföra Pedrinhos uppgift, om du har 10 dollar till förfogande för materialkostnader. Ritningen måste motsvara den beskrivna figuren på ett tillfredsställande sätt och visa en spiral med en liten koncentrisk cirkel. 
 
27)  En man tar ett djupt andetag som fyller hans lungor fullständigt med luft. Han håller andan och med ett måttband mäter han sitt bröstomfång till att vara 106 cm. Efter detta andas han ut så att all luften drivs ut ur lungorna. Hans bröstomfång mäts igen till att den här gången vara 84 cm. Beräkna mannens lungkapacitet om du har 10 dollar att spendera på material.
 
28)  En persons reaktionshastighet kan bestämmas genom att mäta tiden mellan en stimulus och reaktionen på denna stimulus. Till exempel: En lampa förblir släckt medan vi iakttar den. När vi mottar en stimulus "ljuset är tänt" kommer reaktionen att vara "stäng ögonen". Ju kortare tid det är mellan "ljuset är tänt" och "stäng ögonen" desto snabbare reflexer. Beskriv en metod till att bestämma en persons reaktionshastighet utan användning av kronometer eller någon annan utrustning som kan mäta tid i intervaller kortare än 1 sekund. Det är möjligt att utveckla en grov metod med utrustning köpt för 1 dollar, och en mer sofistikerad metod med god precision för 1000 dollar. Beskriv en metod för båda budgetar. 
  
29)  1993 beskrev jag, i en uppsats om Vetenskap och Religion, ett projekt som handlar om möjligheten att konstruera en "osynlighetsmaskin". Då jag skulle beskriva detaljerna, förstod jag att vissa problem var olösliga, inte bara på gund av tekniska begränsningar utan också på grund av fysiska omständigheter som medför vissa teoretiska, möjligtvis oöverstigliga gränser. Projektet börjar med en grundidé att om vi skall göra ett objekt osynligt, är det nödvändigt att en betraktare, som tittar i riktning mot objektet, inte längre visuellt kan uppfatta objektets närvaro. Detta kan uppnås på följande sätt: Ett klot konstrueras med hela sin yta täckt med små högupplösande kameror och monitorer. Miljoner, eller till och med miljarder kameror och monitorer täcker hela klotets yta på sådant sätt att varje monitor visar bild som fångats upp av kameran som är placerad i den punkt som ligger på monitorns diametralt motsatta sida. Resultatet blir som visas i nedanstående figur. 
Bilden av objektet (den blå rutan) fångas upp av kameran i punkt A, som överför bilden till en monitor i punkt M. Resultatet blir att betraktaren i punkt O ser den blå rutan som om det inte fanns någonting framför honom. På detta sätt blir allt som finns inuti klotet osynligt för en extern betraktare. Det finns dock två problem med denna metoden. Det ene problemet kan lösas teoretiskt, medan det andra är olösligt. Ange dessa två problem och förklara varför ett av de kan lösas medan det andre inte.
  
 

Nivå VIII 
 
30)  Det porösa och grå "blyet" som finns i en blyertspenna består av en blandning av grafit och lera. Förhållandet mellan grafiten och leran är okänt. När man skriver på ett pappresark lämnar man ett fint skikt av "bly" på papprets yta. Beskriv en metod för att beräkna massan av "blyet" i pricken över bokstaven "i". Du får använda bara 10 dollar för inköp av material som behövs för detta experiment.  
 
31)  Vi har en cylinder med en radie på 50 centimeter och ett 0.01 cm tjockt måttband. Cylinderns höjd motsvarar måttbandets bredd. Måttbandets tjocklek är oföränderlig och en av dess bredare sidor är otöjbar. Bestäm bandets minimala längd som behövs att linda runtom cylindern 9 gånger, med alla rundor överlappande varandra, som i en tejprulle. Cylinderns topp och bas skall inte lindas in med band. Svaret skall anges med 14 signifikanta siffror. Det är inte tillåtet att klippa bandet eller att skära och deformera cylindern.
 
32)  Ett sofistikerat flygplan svävar som en kolibri över en terräng som belägen längs ekvator, på en höjd av 1000 m. Planeten är helt sfärisk och homogen och har en liten satellit i en cirkulär omloppsbana parallel med ekvatorn. Klockan 15:58:30 kastas en man ner från flygplanet med en fallskärm och dyker lodrätt ner mot marken. I samma ögonblick som mannen hoppar lägger han märke till en satellit som börjar stiga på den östliga horisonten. Mannen landar och, utan att lämna landningsplatsen, fortsätter han att betrakta satelliten som klockan 17:40:00 har nått zenit. Mannen stannar på samma plats och betraktar... klockan 19:20:00 ser han hur satelliten försvinner på den västliga horisonten. Fortfarande på samma plats, ser han hur klockan 22:40:00 satelliten stiger på den östliga horisonten. Hur stor diameter har planeten, tillnärmelsevis? Förklara hur du har nått fram till ditt resultat samt förklara vilken nytta du har haft av all den information du har fått. Förklara varför resultatet inte kan vara exakt.
 
 
Nivå IX 
 
33)  Beskriv en praktisk och snabb metod som kan användas för att med en god precision bestämma antalet ord i en persons ordförråd.

34) Det var en genialisk antropolog, medlem av Sigma V, som hette João. Under en expedition till Afrika blev han tillfångatagen av en kannibalstam och dömd till att bli deras måltid. Emellertid, blev fången erbjuden en chans att befrias om han klarade av en utmaning. Utmaningen var följande: han kom att få två ägg, det enaägget rått och det andra kokt. Det fanns två lådor. Det rå ägget placerades i den ena och det kokta ägget i den andra lådan. João visste inte vilka dimensioner lådorna hade förrän han ställdes inför utmaningen. Lådornas väggar var styva och ogenomskinliga och utformade som en parallellepiped. En av lådorna hade ett fönster på en av sina väggar. Fönstret var täckt med ett trådnät med okänd maskstorlek. Genom fönstret kunde man betrakta ägget i lådan.     
Utmaningen bestod i att, inom två minuter, reda ut vilket av äggen var rått. Det var inte tillåtet att slå sönder äggen, ta ut dem ur lådorna eller öppna lådorna. Ingenting fast, flytande eller gasformigt fick införas i lådorna.
João fick veta att han skulle komma att ställas inför utmaningen efter 90 dagar. Innan dess fick han använda all hjälp han kunde få från byborna för att lösa problemet. Dessutom fick han använda all "avancerad" utrustning och allt annat som var tillgängligt i byn och dess omgivning. När tiden var inne för João att ställas inför utmaningen, i gryningen, fick han en ögonbindel på ögonen och hans händer bands. Några minuter senare, tog en gammal bybo ett ägg som han kokade, torkade och placerade i en låda som han stängde. Han tog ett rått ägg och placerade det i en annan låda vilken han stängde omedelbart. Lådorna ställdes på ett bord där de stannade till kvällen. På kvällen togs ögonbindeln bort från Joãos ögon och hans händer frigjordes, han fick all utrustning han begärde, och togs till bordet där lådorna med äggen var uppställda. João undersökte lådorna noga och lyckades peka ut lådan med det rå ägget. Utmaningen uprepades 20 dagar i rad, varje gång med olika ägg och João lyckades varje gång identifiera det rå ägget. Fulla av beundran släppte kannibalerna João, och till och med, gav de smycken till honom som gåva. Hur lyckades João klara av utmaningen?

Till alla er som tänker göra Sigma test, rekommenderar vi att ni inte skall pröva uppgifterna i praktiken, ty det kan utsätta er för farliga situationer.   Vi tar inget ansvar för möjliga fysiska eller andra problem som kan uppstå på grund av det.   Vi skulle vilja berätta om följande, sann historia, som har gjort ett starkt intryck på oss. Berättelsen visar vad kan hända om du testar uppgifterna i verkligheten.     Vår vän, David Udbjorg, från Danmark, riskerade sitt liv när han försökte att lösa uppgift 34. Han reste till Afrika och hittade en kannibalstam för att kunna testa uppgiften 34. Men kannibalerna visste ingenting om Sigma testet och kände följaktligen inte till överenskommelsen. Därför bestämde de att David skulle bli deras nästa måltid. Som tur var, skulle det bli solförmörkelse kl 12.00, samma dag som David skulle serveras. Så klart visste David om detta och hotade kannibalerna med ta bort solen för alltid. Kannibalerna trodde inte David, men så snart solen började beskuggas av månen släppte de honom. David sa till dem att han skulle förlåta vad de hade gjort och ta fram solen igen. Och solen kom tillbaka! Vår hjälte blev hyllad av kannibalerna för att ha räddat byn. David skickade detta foto som bevis.     Photo: curtesy of David Udbjorg

   
35)  En arabisk man och en israelisk kvinna blev bortrövade av utomjordingar. Utomjordingarna lovade att befria dem och skicka dem tillbaka till jorden, om de klarade av att lösa följande uppgift: Tre rum, A, B och C, är kvadratiska med en area på ca 25 m2. Rummen är förbundna med varandra på sådant sätt att varje rum har två dörrar och varje dörr leder till ett av de två andra rummen. De tre rummen är ljudisolerade och är helt utan möbler och fönster. Väggarna, dörrarna, taken och golven i alla rum är fasta och ogenomskinliga. Det finns inga sprickor, hål, gömda vägar eller liknande. Mannen placeras i rum A och kvinnan i rum B. Båda får följande instruktiner: 
  
1-  Båda har en timme på sig att att gå genom alla tre rummen och komma tillbaka till det rum där de startade, alltid gående i samma riktning A-B-C-A  
2-  Båda får sitta kvar på golvet i deras respektive rum tills de får en signal som säger att tidtagningen har startats. Signalen består av följande: på varje dörr finns det 2 lampor (en lampa på varje sida dörren) och en nästan samtidig tändning av ljuset på alla lamporna utgör själva signalen. Varje lampa lyser tillräckligt starkt för att varje person skall kunna märka dem, även när de inte tar hänsyn till dem.  
3-  I det ögonblicket då kvinnan rör vid dörrhandtaget får inte mannen vara i det rummet längre.  
4-  I det ögonblicket då mannen rör vid dörrhandtaget får inte kvinnan vara i det rummet längre. 
5-  Kvinnan skall resa sig från golvet efter mannen.  
6-  Mannen och kvinnan får inte kommunicera med varandra på något sätt, eller ta emot information från andra som kan avslöja var den andre finns. De får inte banka på väggarna eller försöka att göra någon annan slags tryckvågor. När de lämnar ett rum och träder in i ett annat måste de stänga dörren efter sig. Inledningsvis är alla dörrar stängda. Två eller fler dörrar får inte vara öppna samtidigt.  
7-  Ingen av de har en klocka eller något annat instrument som kan mäta tiden. . 
8-  En minut före en timme har gått, en ljussignal kommer att ges för att varna om att tiden är snart slut.  
9-  När en timme har gått skall mannen sitta mitt i rum A och kvinnan mitt i rum B.  
10-  Kvinnan skall sätta sig efter mannen.  
11-  Mannen har fått veta att kvinnan är utomordentligt intelligent.  
12-  Kvinnan har fått veta att mannen är utomordentligt intelligent.

Mannen och kvinnan kände inte varandra och hade aldrig någonsin varit i kontakt med varandra tidigare. De kommunicerade inte med varandra under hela processen (båda var dövstumma) Experimentet utfördes och de lyckades klara uppgiften. Experimentet upprepades 10 gånger, och varje gång lyckades de att klara uppgiften vilket bekräftade att första gången inte var någon lyckträff. Efteråt återvände de till jorden, konverterade till Zoroastrianism, gifte sig och levde lyckliga i alla sina dagar. Beskriv metoden som de använde för att klara uppgiften och vars och ens sätt att tänka.  
  
  
Nivå X - EXTRAUPPGIFT(det krävs att minst tre uppgifter på nivåerna VII-IX är rätt för att denna uppgift skall medräknas) 
36) Den store poeten Joao tillbringade sina sista dagar i källaren hos sin vän Jose. Jose, en liten handelsman, var en man med få ägodelar men mycket generös. Före sin död anförtrodde Joao sin vän en opublicerad dikt. Diktens namn, publicerat efter Joaos död, är oviktigt för detta problem. Joao kallade sin ödmjuke och generöse vän för "Amfibie". När vännen en gång frågade Joao varför han alltid kallade honom för "Amfibie", fick han en förklaring. 
 Ta hänsyn till att Joao hade mycket höga tankar om sin vän och finn en logisk förklaring i kontexten till betydelsen av namnet "Amfibie". 
[Denna text är baserad på verkliga händelser]