2) Si 13 balles coûtent $3,90, combien coûtent 31 balles?  

3) Une boîte mesure 60 cm de largeur, 50 cm de longueur et 30 cm de profondeur. Quel est le nombre maximal de boîtes plus petites mesurant 10 cm de largeur, 10 cm de longueur et 10 cm de profondeur qui tiennent dans cette boîte?  

4) 12 personnes font un travail en 12 jours. Combien de personnes faudra-t-il pour faire ce travail en 1 jour?  

5) Une collection consiste en 12 volumes. Il y a 300 pages dans chaque volume, 50 lignes à chaque page et 100 lettres à chaque ligne. Combien de lettres y a-t-il au total dans cette collection? 
 

Niveau II 

6) Une compagnie a assez de stock pour fournir sa clientèle de 2,500 personnes pendant 12 mois. Combien de temps ce stock durerait-il si la clientèle passait à 6,000 personnes? 

7) Si un cheval peut tirer 600 kg, combien de chevaux faut-il pour tirer 6,150 kg? 

8) Les âges de Fernanda et Andreia font au total 18 ans. Quel est l’âge de chacune si l’âge d´Andreia est le double de celui de Fernanda? 
 

Niveau III 

9) Ricardo pèse 30 % de plus que José. Si Ricardo perdait 10 % et si José gagnait 20 % de poids, lequel d'entre eux pèserait le plus après cela. Expliquez. 

10) Dans un système planétaire il y a 9 planètes en plus de l’étoile principale. Chaque planète possède 7 satellites primaires. Un satellite primaire sur 21 possède 3 satellites co-orbitaux. Combien d’astres y a-t-il au total? 

11) Sur un escalier composé de 1000 marches il y avait 1 gramme d’or sur la première marche, 2 grammes sur la deuxième, 3 grammes sur la troisième, 4 grammes sur la quatrième, 5 grammes sur la cinquième et ainsi de suite, donc 1 kg d’or sur la dernière marche. Sachant que 1 gramme d’or vaut 11 dollars, calculez la valeur totale de l’or sur l’escalier. 
 

Niveau IV 

12) 99% des gens dans une salle sont des hommes. Combien d’hommes doivent sortir de la salle pour que ce pourcentage baisse jusqu´à 98%? On sait qu’il y a 3 femmes dans la salle. 

13) Sur un échiquier de 64 cases (8 x 8), deux rois peuvent occuper 3.612 positions différentes. Combien de positions différentes peut-on obtenir sur un échiquier de 117 cases (13 x 9) si deux rois ne peuvent pas occuper simultanément la même case ou deux cases adjacentes? 

14) Marcelo avait des pommes dont il a donné la moitié à son frère. Après, celui-ci a donné 75% des pommes qu´il avait reçues pour qu’elles soient divisées en parties égales entre ses trois cousins (Anderson, João et Mané). Anderson a acheté 7 pommes de plus et après il a donné la moitié du total de ses pommes à son frère, Mané. Après cela, Mané avait 17 pommes au total. Combien de pommes est-ce que João a eu? 

15) Maria est allée à la ferme pour acheter des oeufs. En rentrant chez elle, elle a donné la moitié des oeufs à sa soeur qui, à son tour, a donné le tiers de ses oeufs à son petit ami. Celui-ci, après avoir mangé le tiers de ses oeufs, a donné le reste de ses oeufs à son cousin. Sachant que chaque oeuf pèse 70 grammes, que Maria ne réussit pas à porter plus de 2,5 kg et que les oeufs étaient crus, calculez combien d’oeufs le cousin du petit ami de la soeur de Maria a eus. 

16) Le maire João et un grand homme d’affaires célibataire, appelé José, ont offert, ensemble, un grand barbecue. Sans compter l’homme d’affaires José, le maire João et son épouse, le nombre des gens présents égalait le nombre de billets de 100 dollars que le maire a dépensés multiplié par le nombre de billets de 100 dollars que l’homme d’affaires a dépensés. Sachant que, en moyenne, chaque personne a consommé l’équivalent de US$ 6,40 et que le maire a investi US$ 1700,00, calculez combien l’homme d’affaires José a investi. (Note: l’homme d’affaires José, le maire João et son épouse ont aussi participé à la consommation) 
 

Niveau V 

17) Une automobile de Formule 1 parcourt une piste circulaire, terminant le premier tour en 3 minutes, à la vitesse moyenne de 144 km/h. En combien de temps doit-elle parcourir le deuxième tour pour que la vitesse moyenne des deux tours soit de 300 km/h? 

18) Quand Antônio a regardé sa montre, il a constaté que la grande aiguille se trouvait exactement au-dessus de la petite aiguille. Dans combien de temps cette situation se répétera-t-elle? (le mouvement des deux aiguilles est uniforme) 

19) Un train à 2 wagons voyage à une vitesse de 80 km/h de la ville X à la ville Y, séparées d’une distance de 800 km. Au moment où le train est parti, un voyageur a commencé à marcher en allant et venant dans le wagon B, à une vitesse de 100 cm/s. En arrivant à la ville Y, le voyageur était déjà allé et venu 720 fois. Le wagon A a la longueur du wagon B plus le quart de la longueur de la locomotive et la locomotive a la longueur du wagon A plus le cinquième de celle du wagon B. Quelle est la longueur totale du train? 
 

Niveau VI 

20) Plusieurs robinets ont été utilisés pour remplir six tanks. Pendant une heure, tous les robinets ont déversé de l’eau dans un réservoir qui l’a répartie entre quatre de ses tanks: A, B, C et D. Après cela, pendant une heure de plus, les robinets ont déversé de l’eau dans un entonnoir double qui a dirigé la moitié de cette eau dans les autres tanks, E et F, et l’autre moitié dans le réservoir qui, à son tour, a réparti son eau entre les tanks A, B, C et D. Après ça, les tanks A, B, C et D étaient pleins. Pour remplir les tanks E et F, il a fallu utiliser un robinet qui, pendant deux heures, a divisé sa eau entre les tanks E et F, complétant ainsi les six tanks. Quel est le nombre de robinets utilisés au commencement? (Note: Tous les robinets avaient le même débit d’eau et tous les tanks avaient le même volume) 

21) Plusieurs rectangles sont dessinés sur une surface plate de manière que les intersections de leurs côtés produisent 18.769 superficies diverses non-subdivisées. Quel est le nombre minimum de rectangles qu’il faut dessiner pour former le dessin décrit? 

22) Plusieurs segments de droite sont dessinés sur une surface plate de manière que leurs intersections produisent 1.597 superficies diverses non-subdivisées. Quel est le nombre minimum de segments de droite requis pour former le dessin décrit? 

23) 1 + 10^1.234.567.890 triangles sont dessinés sur une surface plate. Quel est le nombre maximum de surfaces diverses non-subdivisées qui peut être formé par l’intersection de ces triangles? (Proposé par Rodrigo de Almeida Rodrigues) 

24) Le dernier Théorème de Fermat affirme qu'il n'existe pas d'entiers positifs non nuls a, b, c vérifiant l'équation a^n + b^n = c^n lorsque n est un entier supérieur à 2. En 1992 je l’ai démontré d’une manière simple mais incorrecte. La démonstration est cette-ci: le Théorème de Fermat est une généralisation du Théorème de Pythagore. Le Théorème de Pythagore propose que la somme des surfaces des carrés construits sur les cathedres d’un triangle-rectangle totalisent une surface égale à celle du carré construit sur l’hypoténuse de ce même triangle-rectangle (a^2 + b^2 = c^2). Si nous essayons d’élargir ce théorème, en passant de 2 à 3 dimensions (a^3 + b^3 = c^3), nous avons un prisme triangulaire formé par le déplacement d’un triangle-rectangle le long d’un axe perpendiculaire à son côté, comme le montre la figure ci-dessous. Nous pouvons construire un cube sur l’un des trois côtés quadrangulaires de ce prisme. Deux de ces côtés correspondent aux deux cathedres du triangle-rectangle (ADFB, BFEC), et le côté plus grand correspond à l’ hypoténuse (ADEC). Il est possible de construire un cube sur l’un de ces côtés, et cela implique que les 4 arêtes de ce côté sont égales. Cela se répercute sur le prisme entier en faisant que le cube qui sera construit sur l’autre côté ait les mêmes dimensions que celui construit sur le premier, car si AB=BF et BF=BC, AB=BC. De cette façon, le troisième côté ne peut jamais avoir un cube construit sur lui, car si AC représente l’hypoténuse, AC ne peut pas être égal à AB, donc a^n + b^n = c^n n’a pas de solution pour n = 3. En maintenant cette ligne de raisonnement, nous pouvons démontrer que la démonstration est valide pour n’importe quel nombre de dimensions plus grande que 2. Où se trouve l’erreur de cette démonstration? 
 

Niveau VII 

25) Un système d’engrenages consiste en la superposition de 5 disques concentriques: A, B, C, D et E, qui restent sur une plate-forme rigide, assumée comme référence statique. Les dimensions des disques sont différentes et ils tournent à des vitesses différentes. Chaque disque a une vitesse uniforme, et quelques-uns tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, quelques-uns dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Chaque disque a un point rouge à sa surface, et initialement tous ces points rouges ne sont pas alignés. À un moment donné, tous les disques commencent à tourner simultanément, chaque disque à son propre rythme, sans aucun contact entre les disques. Le disque A a besoin de 7 minutes pour faire un tour complet (360 degrés), le disque B a besoin de 13 minutes, le disque C a besoin de 17 minutes, le disque D a besoin de 19 minutes et le disque E a besoin de 23 minutes. Après quelque temps, tous les points rouges se trouvent alignés, le disque A étant dans la même position dans laquelle il se trouvait deux minutes après le commencement du mouvement, le disque B étant dans la même position dans laquelle il se trouvait 3 minutes après le commencement du mouvement, le disque C étant dans la même position dans laquelle il se trouvait 4 minutes après le commencement du mouvement, le disque D étant dans la même position dans laquelle il se trouvait 7 minutes après le début du mouvement et le disque E étant dans la même position dans laquelle il se trouvait 9 minutes après le commencement du mouvement. Combien de temps s’est-il passé du début du mouvement jusqu’à ce que les disques soient arrivés pour la première fois dans cette configuration? 

26) Pedrinho est entré dans la Papeterie de Dona Maria. Il a demandé à Dona Maria de lui vendre une règle géométrique pour dessiner une spirale avec un petit cercle concentrique. Dona Maria, membre de Sigma Society, a dit au garçon qu’elle n’avait pas de règles pour dessiner des spirales. Toutefois, après avoir réfléchi profondément au problème, elle a découvert une façon de faire un tel dessin, et elle a expliqué la méthode au garçon. Tout de suite, elle lui a vendu le matériel nécessaire qu’il a payé avec un billet de US$ 10,00, en recevant un peu de monnaie en retour. Il est rentré chez lui et il a fait le dessin sans difficultés. Décrivez la méthode pour accomplir la tâche de Pedrinho, en disposant des mêmes US$ 10,00 pour acheter le matériel nécessaire. Le dessin doit être suffisamment reconnaissable comme le modèle décrit (spirale avec cercle concentrique), sans grandes irrégularités dans la spirale. 

27) Un homme inhale profondément, en remplissant ses poumons complètement. Après il retient sa respiration et un mètre à ruban est utilisé pour mesurer le périmètre de son thorax, mesurant 106 cm dans ces conditions. Tout de suite, l’homme expire jusqu’a ce que ses poumons libèrent tout l’air. Son thorax est mesuré de nouveau et cette fois son périmètre est de 84 cm. En disposant de US$10,00 pour acheter du matériel, de quelle manière est-ce que l’on peut savoir combien d’air ses poumons sont capables de contenir? 

28) La vitesse de réaction d’une personne peut être déterminée en mesurant le temps qui s’écoule entre un stimulus et une réaction provoquée par ce stimulus. Par exemple: Une lampe reste éteinte pendant que nous l’observons. Quand on reçoit le stimulus “la lampe s’est allumée”, la réaction sera “fermer les yeux”. Plus court le temps entre “la lampe s’est allumée” et “fermer les yeux”, plus rapides les réflexes. Décrivez une méthode pour déterminer la vitesse de réaction des gens sans utiliser aucun chronomètre ou n’importe quel équipement permettant de mesurer des intervalles de temps plus courts que 1 seconde. On peut élaborer une méthode rustique en disposant de US$1,00 pour acquérir de l’équipement et on peut élaborer une méthode sophistiquée, de haute précision, en disposant de US$1000,00. Décrivez une méthode pour chacun des deux budgets. 

29) En 1993, dans un essai sur Science et Religion, j’ai décrit un projet de construction d’une “machine d’invisibilité”. Pendant la description des détails, j’ai réalisé que certains problèmes étaient insolubles, pas seulement à cause de limitations technologiques, mais aussi pour des questions physiques, qui imposent des limites théoriques et éventuellement insurmontables. Le projet part de l’idée centrale que, pour rendre un objet invisible, il faut qu’un observateur externe regardant dans la direction de cet objet cesse de percevoir, à l’aide des organes de la vue, sa présence. Cela peut être fait de la façon suivante: on construit une sphère, et toute la surface externe de cette sphère est couverte de minuscules caméras et moniteurs de télévision à très haute résolution. Des millions ou milliards de caméras et moniteurs doivent couvrir toute la sphère de telle manière que chaque moniteur transmette l’image captée par la caméra située dans le point diamétralement opposé. Le résultat sera comme le montre la figure ci-dessous.  
L’image de l’objet (carré bleu) est captée par une caméra située au point A. Cette caméra transmet l’image au moniteur situé au point M, de telle sorte qu’un observateur situé au point O verra le carré bleu comme s’il n’avait rien devant lui. De cette façon, tout ce qui est situé à l’intérieur de la sphère sera invisible pour l’observateur externe. Mais ce schéma pose deux problèmes, dont l’un peut être résolu en théorie, alors que l’autre n’a pas de solution. Indiquez ces deux problèmes et expliquez pourquoi l’un d’eux peut être résolu et l’autre pas. 
 

Niveau VIII 

30) La mine de plomb grise et poreuse des crayons est composée d’un mélange de graphite et d’argile, et nous ne savons pas quelles sont leurs proportions. Quand on écrit avec un crayon sur une feuille de papier, une couche fine de matériau reste sur la feuille. Décrivez une méthode pour calculer la masse de la mine de plomb dans le point de la lettre “i”, en disposant de seulement US$10,00 pour acheter le matériel nécessaire à l’expérience.  
  
31) Nous avons un ruban de 0,01 cm d’épaisseur et un cylindre de 50 cm de rayon. L'hauteur du cylindre égale la largeur du ruban. Sachant que l’un des côtés larges du ruban est inextensible et que l’épaisseur du ruban ne varie pas, quelle est la longueur minimum du ruban nécessaire pour enrouler le ruban 9 fois autour du cylindre (tous les ronds superposés comme dans un rouleau de ruban adhésif). Le haut et le bas du cylindre ne doivent pas être couverts de ruban. Il faut indiquer la solution avec 14 chiffres significatifs et il n’est pas permis de couper le ruban ou de couper ou déformer le cylindre. 
 
32) Un navire sophistiqué plane comme un colibri sur un terrain situé sur la ligne équatoriale d’une planète, à 1.000 mètres d’altitude. Cette planète est parfaitement sphérique, homogène et possède un petit satellite qui décrit une orbite circulaire sur un plan parallèle à son équateur. À 15:58:30 h, un homme saute en parachute de ce navire, et descend perpendiculairement à terre. Au moment où il saute, il observe que le satellite est en train de “naître” à l´horizon à l’Est. Il atterrit et, sans changer de place, continue à observer le satellite qui, à 17:40:00 h, atteint le zénith. Il reste à la même place, en observant…et à 19:20:00 h il voit le satellite disparaître à l´horizon à l’Ouest. Toujours sans quitter la place, à 22:40:00 h, il observe le satellite en train de naître de nouveau à l’est. Quel est le diamètre approximatif de cette planète?  Justifiez votre réponse et expliquez l’utilité de chaque element d’information dans l’énoncé. Expliquez aussi pourquoi la valeur obtenue ne peut pas être exacte. (Si vous avez des doutes quant au sens des mots zénith, horizon, équateur, orbite etc., vous pouvez consulter des livres et encyclopédies) 
 

Niveau IX 

33) Décrivez une méthode pratique et rapide qui permette de déterminer avec bonne précision le nombre de mots qui constituent le vocabulaire d’une personne. 

34) Il y avait un brillant anthropologiste, membre de Sigma V, appelé João. Pendant une expédition en Afrique, il a été fait prisonnier par une tribu de cannibales et il a été condamné à servir de repas. Mais la “législation” de cette tribu offre aux prisonniers une occasion d’être libérés, à condition qu’ils soient capables de relever un défi. 
Dans le cas de João, le défi était le suivant: on lui présenterait deux oeufs, un cru et l’autre à la coque. Chaque oeuf resterait dans une boîte. Les parois de ces boîtes sont rigides et opaques. Les boîtes ont la forme de parallélépipèdes. L’une des boîtes a une fenêtre sur un de ses côtés, et cette fenêtre est couverte par un grillage par lequel il est possible d’observer l’oeuf dans la boîte. 
Le défi consiste à identifier l’oeuf cru en 2 minutes. Les oeufs ne peuvent pas être cassés ou retirés de l’intérieur des boîtes, et les boîtes ne peuvent pas être ouvertes. 
João est informé que ce défi lui sera présenté au bout de 90 jours. D’ici là, il aura l’appui des membres du village pour chercher un moyen de résoudre le problème. En plus de cela, João disposera de tous les instruments “sophistiqués” et de tout ce qu’il y a dans le village ou dans les environs. 
Le jour du défi arrive et, au lever du soleil, les yeux de João sont bandés et ses mains sont liées. Quelques minutes plus tard, un vieillard du village fait cuire un oeuf. Après, il essuie l’oeuf, il le met dans une boîte, et il ferme la boîte. Il prend un oeuf cru et il le met dans une autre boîte, en fermant la boîte tout de suite. On place les boîtes sur une table où elles restent jusqu’au coucher du soleil. Après, João est détaché, le bandeau devant ses yeux est enlevé, il est muni de l’équipement qu’il avait demandé, et on l’emmène à la table sur laquelle se trouvent les deux boîtes contenant les oeufs. 
Il examine les boîtes soigneusement et réussit à identifier l’oeuf cru. On répète le défi chaque jour pendant les 20 prochains jours, chaque fois avec des oeufs différents, et chaque fois il réussit à accomplir la tâche.  
En admiration devant cela, les cannibales reconnaissent la valeur du notable anthropologiste. Ils décident de le libérer et en plus ils lui font cadeau des bijoux. Comment João a-t-il réussi à se sauver?  
  

We are recommending those who are taking the "Sigma " test ,not to try out the quest in real life !It can bring you into very dangerous situation.  We don't take any kind of responsibility for possible physical or other problems caused by trying out the questions in real life.  We would like to tell you about the following true story, which has made a deep impression on us, the story tells what might happen if you try to carry out the questions in reality.    Our friend, David Udbjorg, from Denmark, risked his life by trying to solve the problem. He traveled to Africa. He found a local tribe of cannibals, in order to try out question no.34. But the Cannibals, didn't know about the Sigma test and consequently haven't read the agreements. So they decided that David should be the next meal. Fortunately, on the same day as David was going to be served, there would be a solar eclipse at 12 o´clock. OF course David knew this, and threatened to take the sun away forever. The cannibals didn't believe David, but as the sun started be shaded by the moon, they let him loose. David told them that he would forgive what they had done and bring the sun back. And the sun returned ! Our hero was celebrated by the cannibals because he saved the town. David sent a photo as proof.    Photo: curtesy of David Udbjorg

   
35) Un homme arabe et une femme israélienne sont enlevés par des extraterrestres. Les E.Ts. promettent de les ramener indemnes sur Terre s’ils sont capables d’accomplir la tâche suivante: il y a trois salles, désignées A, B et C. Chaque salle est carrée et a approximativement 25m2. Les salles sont construites de manière que chacune possède deux portes, et que chacune de ces portes donne accès à une des deux autres salles. Les trois salles sont acoustiquement isolées, et elles ne possèdent pas de meubles ni de fenêtres. Les murs, les portes, le plafond et le sol sont rigides et opaques et n’ont pas de fentes, trous, passages secrets ou de choses pareilles. On place l’homme dans la salle A et la femme dans la salle B. Ils reçoivent ces instructions: 
1 - Les deux auront un délai d’ 1 heure pour parcourir les trois salles et retourner à la salle d’origine, en marchant toujours dans le sens A-B-C-A. 
2 - Les deux devront rester assis, sur le sol, au centre de leur salle respective, jusqu’à ce que un signal soit émis, indiquant le commencement du decompte du temps. Le signal consistera en ceci: dans chaque porte il y aura deux lampes (une de chaque côté de la porte), et le signal sera donné quand toutes ces lampes s’allumeront presque simultanément. Chaque lampe sera suffisamment lumineuse pour qu’elle puisse être facilement remarquée, même si on n’était pas en train de faire attention à elle. 
3 - Au moment où la femme touchera le bouton de la porte d’une salle, l’homme ne pourra plus être dans cette salle-là. 
4 - Au moment où l’homme touchera le bouton de la porte d’une salle, la femme ne pourra plus être dans cette salle-là. 
5 - La femme devra se lever après l’homme. 
6 - L’homme et la femme ne pourront établir aucun genre de communication ou obtenir de quelqu’un d’autre de l’information permettant à l’un d’entre eux de savoir où se trouve l’autre. Ils ne pourront pas battre les murs et les portes ou essayer de produire une quelconque onde de choc. En sortant d’une salle et en entrant dans une autre, il faudra fermer la porte correspondante. D’abord toutes les portes seront fermées. Deux ou plus de deux portes ne peuvent pas rester ouvertes simultanément. 
7 - Ni l’un ni l’autre n’aura une montre ou n’importe quel autre instrument qui lui permette de déterminer l’écoulement du temps. 
8 – À 1 minute de la fin, le signal lumineux sera donné de nouveau, indiquant que le délai sera bientôt fini. 
9 - Quand le délai de 1 heure sera atteint, l’homme devra se trouver assis au centre de la salle A et la femme devra se trouver assise au centre de la salle B. 
10 - La femme devra s´asseoir après l’homme. 
11 - L’homme est informé que la femme est exceptionnellement intelligente. 
12 - La femme est informée que l’homme est exceptionnellement intelligent. 
L’homme et la femme ne se connaissaient pas auparavant, ils n’avaient jamais été en contact auparavant, et ils sont restés privés de communications pendant tout le processus (pour rendre l’énoncé plus clair, disons que les deux étaient sourds et muets). L’expérience est répétée 10 fois et chaque fois ils réussissent à accomplir la tâche avec succès. Il est donc clair que leur succès n’est pas dû à la chance. Alors ils sont retournés sur Terre, ils se sont convertis au zoroastrisme, ils se sont mariés et ils vivent toujours heureux! Décrivez le procédé qu’ils utilisent et la pensée de chacun. 
 

Niveau X - EXTRA (il faut répondre correctement à au moins 3 questions des niveaux VII-IX pour essayer de répondre à cette question) 
36) Le grand poète João a passé les derniers jours de sa vie logé dans le sous-sol de la maison de son ami José, un petit commerçant, aux maigres possessions mais à la grande générosité. Avant de mourir, João lui a confié son poème inédit (le titre de celui-ci n’est pas important), publié après sa mort. 
João appelait cet ami humble et généreux: “Amphibie”. Une fois, l’ami lui a demandé pourquoi il l’appelait toujours par ce nom. Alors, João le lui a expliqué. 
Considérez que João avait cet ami en grande estime et, dans le contexte, trouvez une explication logique du sens de 
“Amphibie”.