1. I 1976 var Marcelo 11 år gammel. Hvor gammel var han i 1999 ? 

2. Hvis 13 patroner koster $3.90, hvor meget koster 31 patroner ? 

3. En kasse måler 60cm x 50 cm x 30 cm. Hvad er det maksimale antal mindre æsker med målene 10cm x 10cm x 10cm man kan putte ind i kassen ? 

4. 12 personer udfører et arbejde på 12 dage, hvor mange personer er nødvendige for at udføre det samme arbejde på én dag ? 

5. En bog samling består at 12 bind. Der er 300 sider i hver bind, 50 linier på hver side og 100 bogstaver på hver linie. Hvor mange bogstaver er der i alt ? 
 

Niveau II 

6. Et firma har varer nok på lager til at forsyne sine 2.500 kunder i 12 måneder. Hvor lang tid ville lageret række hvis firmaet havde 6.000 kunder ? 

7. Hvis en hest kan trække 600 kg, hvor mange heste skal der til at trække 6.150 kg ? 

8. Fernanda og Andreia er tilsammen 18 år. Hvor gamle er de hver især, når vi ved at Andreia er dobbelt så gammel som Fernanda? 

 
Niveau III 

9. Ricardo vejer 30% mere end José. Hvis Ricardo tabte 10% og José tog 20% på, hvem vil så veje mest ? Forklar ! 

10. Et solsystem har, 9 planeter udover solen. Hver af planeterne har 7 måner, og én ud af hver 21 måner har 3 sekundære måner. Hvor mange himmellegemer er der i alt ? 

11. På en trappe med 1.000 trin er der 1 gram guld på det første trin, 2 gram på det andet, 3 gram på det tredje o.s.v. indtil der er 1 kg guld på det sidste trin. Hvis ét gram guld har en værdi af 11$ hvad er så værdien af alt guld på trappen i $ ? 
 
 
Niveau IV 

12. 99% af personerne i et lokale er mænd. Hvor mange mænd skal forlade lokalet for at denne procentdel falder til 98% ? Vi ved at der er 3 kvinder i lokalet ! 

13. På et skakbræt med 64 felter ( 8 x 8), kan to konger placeres på 3.612 forskellige måder. På hvor mange forskellige måder kan to konger placeres hvis skakbrættet har 117 felter (13 x 9) ? De to konger må ikke på noget tidspunkt optage samme felt eller tilstødende felter. 

14. Marcelo havde nogle æbler, han gav halvdelen til sin bror. Sidst nævnte gav 75% af de æbler han fik videre til sine tre fætre Anderson, João og Mané, som hver fik lige mange. Mads købte 7 æbler mere og gav halvdelen af alle side æbler til sin bror Mané. Mané havde i alt 17 æbler ; hvor mange æbler havde João ? 

15. Maria tog ud på en gård for at købe æg. Da hun kom hjem gav hun halvdelen af æggene til sin søster, som herefter gav en tredjedel til sin ven. Vennen spiste en tredjedel af sine æg og gav resten til sin fætter. Hvis hvert æg vejer 70 gram, og Maria ikke kan bære mere end 2.5 kg og æggene var rå, hvor mange æg fik fætteren til Maria’s søsters ven så? 

16. Borgmester João, og José en vigtig forretningsmand som var ungkarl, holdt en stor fest. Udover forretningsmanden José, borgmester João og hans kone, var antallet af gæster lig med antallet af 100$ sedler som borgmesteren havde brugt ganget med antallet af 100$ sedler som forretningsmanden havde brugt. Vi ved at hver person i gennemsnit konsumerede for 6.4$ og at borgmesteren havde brugt 1.700 $. Beregn hvor meget forretningsmande José havde brugt. ( Forretningsmanden, borgmesteren og hans kone deltog på lige fod med de øvrige gæster ). 
 

Niveau V 

17. En formel-1 racer, køre på en cirkulær bane. Kører første omgang på 3 minutter med en gennemsnits fart på 144 km/t. Hvor hurtig skal anden omgang køres for at opnå en gennemsnitsfart af de to omgange på 300 km/t ? 

18. Da Antônio kikkede på hendes ur, bemærkede hun at timeviseren befandt sig lige over minutviseren. Hvor lang tid vil der gå før det sker igen ? ( begge visere bevæger sig jævnt). 

19. Et tog med 2 vogne køre med 80 km/t fra by X til by Y som ligger 800 km fra hinanden. På samme tid som toget afgik, startede en passager med at gå frem og tilbage fra den ene ende af vogn B til den anden ende med en hastighed af 100 cm/s. Ved ankomsten af by Y havde han gået frem og tilbage 720 gange. Vogn A er lige så lang som vogn B plus en fjerdedel af lokomotivets længde, og lokomotivets længde er lig med længden på vogn A plus en femtedel af længden på vogn B. Hvor lang er hele togstammen ? 
 

Niveau VI 

20. Flere vandhaner blev brugt til at fylde seks tanke. Alle vandhaner fyldte vand I en beholder I én time, fra beholderen blev vandet viderefordelt mellem fire tanke ; A,B,C og D. Herefter, i én time, fyldte vandhanerne vand i en dobbelt tragt som dirigerede halvdelen af vandet til to tanke E og F og den anden halvdel til beholderen som fortsatte med a fordele vand til tankene A,B,C, og D. Hermed var tankene A,B,C og D fulde. For at fylde tank E og F er det nødvendigt at bruge én vandhane i to timer. Herefter er alle seks tanke fyldt. Hvor mange vandhaner blev der oprindeligt brugt ? ( Alle vandhaner havde samme vandgennemstrømning og alle tanke havde samme volumen ). 

21. Adskillige rektangler er tegnet på en plan flade på en sådan måde at deres skærende linier danner 18.769 områder som ikke er yderligere underdelt. Hvad er det mindste antal rektangler nødvendigt for at danne det beskrevne mønster? 

22. Adskillige lige liniestykker er tegnet på en plan flade på en sådan måde at deres skærende linier danner 1.597 områder som ikke er yderligere underdelt. Hvad er der mindste antal liniestykker nødvendige for at danne det beskrevne mønster? 

23. 1 + 10^1,234,567,890 trekanter er tegnet på en plan flade. Hvad er det maksimale antal områder ikke yderligere underdelt, der kan laves ved sammenskæring mellem trekanterne ? (Bidrag af Rodrigo de Almeida Rodrigues) 

24. Ifølge Fermat’s sidste Teorem, a^n + b^n = c^n har ingen løsning for n > 2 (a,b,c og n skal være positive størrelser). I 1992, beviste jeg dette på en simpel men ukorrekt måde.Således var mit resonnement : Fermat´s Teorem er en generalisering af  Pytagors’s Teorem, som siger at summen arealer af kvadrater tegnet på kateterne af en retvinklet trekant er lig med arealet af kvadratet tegnet på hypotenusen af samme retvinklet trekant (a^2 + b^2 = c^2). Hvis vi prøver at generalisere dette teorem ved at gå fra 2 til 3 dimensioner (a^3 + b^3 = c^3), har vi et trekantet prisme som vist på fig.a. 
 
Fig. a 
 
Vi kan konstruere en kube på én af de tre rektangulære flader på prismen. 
To af disse flader svarer til benene på den retvinklede trekant (ADFB,BFEC) mens den store flade svarer til hypotenusen (ADEC). Det er muligt at konstruere en kube på en af fladerne, hvilket giver at de fire sider på denne flade har samme længde. 
Dette påvirker hele prismet ,hvilket medfører at kuberne som er konstrueret på de andre flader får samme størrelse som den først konstruerede, fordi; hvis AB=BF og BF=BC, så er AB=BC. 
På denne måde, kan der ikke konstrueres en kube på den tredje flade, for hvis AC repræsenterer hypotenusen, så kan AC ikke være lig med AB. Derfor har  a^n + b^n = c^n Ingen løsning for n=3. 
Ved at følge ræsonnementet kan vi vise at der ikke er nogen løsning for et vilkårligt antal dimensioner større end 2. Hvad er der galt med dette ræsonnement ? 
 
 
Niveau VII 

25. Et bestemt gear system består af 5 koncentriske skiver lagt over hinanden; A,B,C, D og E, som er fastgjort til en massiv stationær sokkel. Skiverne er forskellige i størrelse og roterer med forskellig hastighed. Alle skiver roterer med konstant hastighed, nogle med uret og andre mod uret. Hver skive har et rødt mærke og indledningsvis ligger disse ikke på linie. På et givent tidspunkt begynder alle skiverne samtidigt at rotere med hver sin hastighed, og uden at der en nogen kontakt imellem dem. Det tager 7 minutter for skive A, 13 minutter for skive B, 17 minutter for skive C, 19 minutter for skive D og 23 minutter for skive E at fuldføre en fuld 360 graders omgang. Efter et bestemt stykke tid befinder alle de røde mærker sig på lige linie, skive A befandt sig i samme position som den var 2 minutter efter at den startede med rotationen, skive B befandt sig i samme position som den var 3 minutter efter at den startede med at spinde, skive C befandt sig i samme position som den var 4 minutter efter at den startede med at spinde, skive D befandt sig i den samme position som den var 7 minutter efter at den startede med at spinde, skive E befandt sig i samme position som den var 9 minutter efter at den startede med at spinde. Hvor lang tid gik der fra det tidspunkt skiverne startede med at rotere og til de nåede den beskrevne stilling første gang ? 

26. Pedrinho gik ind i Fru Maria’s boghandel og spurgte hende om hun kunne sælge ham en geometrisk lineal til at tegne en spiral med lille koncentrisk diameter. Fru Maria, som er medlem af Sigma Selskabet, fortalte drengen at der ikke fandtes en sådan lineal. Men efter at have tænkt lidt over problemet fandt hun en metode til at lave en sådan tegning, og beskrev metoden for drengen. Hun solgte med det samme drengen de nødvendige materialer, for hvilke han betalte med en 100 kr seddel, han fik en mule penge tilbage. Han gik hjem og lavede tegningen uden problemer. Beskrive en metode til at udføre Pedrinho’s opgave, indenfor et budget af de 100 kr. Tegninge må med et tilfredsstillende resultat vise  en spiral med lille koncentrisk diameter uden store uregelmæssigheder i spiralen. 

27. En mand tager en dyb indånding , fylder sine lunger med luft. Han holder vejret mens omkredsen af hans bryst bliver målt, det bliver målt til at være 106 cm. Herefter udånder han al luften fra sine lunger, omkredsen af hans brystkasse bliver herefter målt til 84 cm. Find nu ud af hvor stor en mængde luft hans lunger kan indeholde, du har 100 kr til at købe materialer for. 

28. En persons reaktionshastighed kan fastsættes ved måling af den tid der går fra et stimuli til der reageres på dette stimuli. F.eks ; en lampe forbliver slukket mens vi kigger på den. Når vi modtager en påvirkning ”tænde lampen”, reaktionen vil være at ”lukke øjnene”. Jo kortere tid der er mellem ” tænd Lampen” og ”lukke øjnene” jo hurtigere reaktionshastighed. Beskriv en metode til  at fastsætte en persons reaktionshastighed uden brug af kronometer eller andet udstyr som kan måle tid i intervaller kortere end 1 sekund. Det er muligt at udvikle en grov metode med udstyr købt for ca. 10 kr, og en mere kompliceret metode med god præcision på et 10.000 kr’s budget. Beskrive en metode for begge budgetter. 

29. I 1993 beskrev jeg, I en artikel om videnskab og religion, et projekt omhandlende muligheden for at bygge en “ usynligheds maskine”. Da jeg skulle beskrive detaljerne, blev jeg klare over at nogle af problemerne var uløselige, ikke kun på grund af tekniske begrænsninger men også på grund af fysiske omstændigheder medførende teoretiske og mulige uoverstigelige grænser. Projektets grundidé er ,at hvis man skal gøre et objekt usynligt, er det nødvendigt at en iagttager som kigger i retning mod objektet visuelt ikke længere kan opfatte objektets tilstedeværelse. Dette kan opnås på følgende måde ; En kugle konstrueres, og hele overfladen bliver dækket med miniature høj-opløselige monitorer og tv kameraer. Millioner eller måske milliarder af kameraer og monitorer dækker hele kuglens overflade på en sådan måde at hver monitor bringer billedet fra et kamera placeret på den diametralt modsatte side. Resultatet vil være som vist i nedenstående figur B. 
 
Fig. B 
 
Billedet af objektet ( den blå firkant) bliver fanget af kamera A, billedet bliver transmitteret til monitoren placeret i punkt M. Resultatet bliver at en tilskuer i punkt O vil se den blå firkant som om der ikke var noget foran ham, på den måde vil alt hvad  der er inde i kuglen være usynlig for tilskueren. Men der er 2 problemer med denne metode, det ene problem kan løses i teorien mens det andet problem er uløseligt. Fortæl om naturen af de to problemer og hvorfor det ene er uløseligt mens det andet ikke er. 
 
 
Niveau VIII 

30. Det porøse grå “ bly” som er inden i en almindelig blyant består af en blanding af grafit og ler. Forholdet mellem grafitten og leren er ukendt. Når man skriver på et stykke papir, forbliver et fint lag af ”bly” på papirets overflade. Beskrive en metode til at kalkulere vægten af ”bly” i prikken over bogstavet ”i”.  Du har et budget på 100 kr til at købe materialer til eksperimentet. 

31. Vi har en cylinder med en radius på 50 cm og en højde på 1 m, samt noget tape med en tykkelse på 0,01 cm og en bredde på 1 cm. Tapen har samme tykkelse overalt og ufleksibel. Bestem den nødvendige længde af tape viklet om cylinderen 9 gange (alle runder overlapper hinanden). Løsningen skal opgives med 14 decimaler og det er ikke tilladt at skære i tapen eller ødelægge beholderen. 

32. Et avanceret fly svæver som en kolibri over et område af ækvator på en planet, i en højde af 1000 m. Planeten som er helt sfærisk og homogen, har en lille satellit i en cirkulær bane parallelt til ækvator. Kl. 15:58:30, springer en mand ud fra flyet i faldskærm, han falder i en lodret bane ned mod jorden. På det tidspunkt han forlader flyet bemærker han satellitten begynder at stige op på den østlige horisont. Han lander, og bliver på landingsstedet, hvorfra han vedbliver at observere satellitten. Kl 17:40:00 har den nået zenit, kl.19:20:00 ser har satellitten forsvinde bag den vestlige horisont. Mens han stadigvæk befinder sig på det samme sted ser han satellitten igen da den stiger op på den østlige horisont kl. 22:40:00. Hvor stor en diameter har planeten, tilnærmelsesvis ? Forklar hvordan du er nået frem til dit svar samt giv en vurdering af brugbarheden af alle de informationer du har fået. Forklare hvorfor resultatet ikke kan være præcist. 
 
 
Niveau IX 

33. Beskriv en praktisk og hurtig metode der med god nøjagtighed kan bestemme en persons ordforråd. 

34. Der var en genial antropolog, medlem af Sigma V, ved navn João. Under en ekspedition til Afrika blev han taget til fange af en stamme af kannibaler og dømt til af blive deres måltid til den næste fest. Men, kannibal loven tilbød altid offeret en chance for at blive løsladt, hvis han var i stand til at løse en bestemt gåde. I João’s tilfælde lød gåden således; han vil blive præsenteret for to æg, det ene var råt og det andet kogt. Begge æg befandt sig i hver sin æske. Æskernes vægge var parallelle som i et firkantrør, grove og uigennemsigtige. Den ene æske har et vindue i en af væggene. Vinduet er dækket af et trådnet og gennem dette er det muligt af iagttage ægget inde i æsken. 
Opgaven går ud på, i løbet af 2 minutter, at finde ud af hvilket af de to æg er rå. Det er ikke tilladt af ødelægge æggene, tage dem ud af deres æsker eller åben æskerne. 
João får at vide at svaret på gåden skal foreligge efter 90 dage. Indtil da, kan han regne med hjælp fra landsby beboerne, med at finde løsningen på gåden. Hertil har han mulighed for at bruge alle de ” avancerede” redskaber og alt andet han kan finde i landsbyen eller dens omgivelser. En tidlig morgen, efter 90 dage , blev João vækket , han fik bind for øjnene og hans hænder blev bundet. Nogle få minutter senere, tog en af landsbyens ældste et æg og kogte det, tørrede det og placerede det i en æske som han lukkede. Herefter tog han et råt æg og lagde det i den anden æske, lukkede æsken omhyggeligt med det samme. De to æsker blev stillet på et bord hvor de stod til om aftenen. Herefter blev João ’s hænder frigjort, han fik de redskaber han havde bedt om tidligere, hvorefter han blev ført hen til bordet hvor de to æsker med æggene var. Han undersøgte dem grundigt og fandt ud af hvilken æske der indeholdt det rå æg. Opgaven blev gentaget hver dag i 20 dage, hver gang med nye æg og hver gang var han i stand til af finde det rå æg. Kannibalerne løslod ham, beundrende, og gav ham tillige med smykker og andre gaver. Beskriv hvorledes João løste opgaven. 
 

Til alle som har lavet " sigma" testen, vil vi anbefale ikke at afprøve de praktiske spørgsmål, der kan bringe en i  farlige situationer. Vi tager ingen form for ansvar for de mulige fysiske problemer der kan opstå som en konsekvens  af at prøve. Vi vil hermed informere om følgende sandfærdige facts, der har gjort et stærkt indtryk på os, som følge at et forsøg på at udføre en sigma test.  Vores ven, David Udbjørg, fra Danmark, satte sit liv på spil ved at prøve på at løse dette problem. Han rejste til Africa. Han  opsøgte en kannibalstamme, for at afprøve spørgsmål 34, men kannibalerne ,som ikke vidste noget om sigma testen, forstod derfor ikke aftalen deri, bestemte istedet for at David skulle være dagens ret.Men heldigvis, på selv samme dag, som David skulle serveres, ville der blive solformørkelse i regionen kl 12.00. Det vidste David og han truede derfor kannibalerne med at tage solen væk for evig tid. Kannibalerne troede ikke på David, men da månen startede på at dække solen slap de ham fri. David sagde derpå at han ville tilgive dem og give dem solen tilbage. Og solen kom tilbage igen ! Vores helt blev derefter hyldet af kannibalerne fordi han havde reddet landsbyen. David sendte et foto som bevis på de sandfærdige facts !  Photo: curtesy of David Udbjorg

 
35. En Arabisk mand og en Israels kvinde bliver bortført af rumvæsener. E.T’erne lover at føre dem tilbage til jorden uskadt, hvis det lykkedes dem at udføre følgende opgave; 3 rum med betegnelserne A,B,og C, hvert af dem er firkantede og måler ca. 25 m2. Rummene er forbundet på en sådan måde at hvert rum har to døre, og hver dør giver adgang til ét af de andre to rum. De tre rom er lydisolerede og har hverken møbler elle vinduer. Vægge, loft, gulv og døre er massive og uigennemsigtige. Der er ingen revner, huller, skjulte gange eller lignende. Manden bliver placeret I rum A og kvinden I rum B. De modtage begge følgende instruktion : 
1. De har begge to én time til at gå gennem alle tre rum og vende tilbage til det rum hvor de startede, altid bevægende sig I retningen A-B-C-A. 
2. De skal begge blive siddende på gulvet i deres respektiver rum indtil et signal er givet, signalet fortæller at timeren er startet. Signaler er som følger ; på hver dør er der 2 lamper, én på hver side, og næste samtidigt tilslutning af lyset på alle lamper, er signalet. Hver lampe lyser så klart at selvom man ikke er opmærksom vil man opfatte signalet. 
3. I det øjeblik kvinden rører ved et dørhåndtag til et rum, må manden ikke befinde sig I rummet mere. 
4. I det øjeblik kvinden rører ved et dørhåndtag til et rum, må manden ikke befinde sig I rummet mere. 
5. Kvinden skal rejse sig fra gulvet efter manden. 
6. Det er ikke tilladt manden og kvinden af kommunikere med hinanden på nogen måder, eller modtage informationer fra andre som kan afsløre hvor den anden befinder sig. De må ikke banke på vægge eller døre, eller prøve at lave nogen som helst form for trykbølge. Når de forlader et rum og går ind i et nyt skal de lukke døren efter sig. Indledningsvis er alle døre lukkede. To eller flere døre må ikke være åben på samme tid. 
7. Ingen af dem har ur eller andet til at male tid. 
8. Ét minut før timen er gået vil lyssignalet blive givet igen, for at fortælle at tiden er ved at være udløbet. 
9. Når timen er gået skal manden sidde I midten af rum A og kvinden I midten af rum B. 
10. Kvinden skal sætte sig efter manden. 
11. Manden har fået at vide at kvinden er usædvanlig intelligent. 
12. Kvinden har fået at vide at manden er usædvanlig intelligent. 
Manden og kvinden kendte ikke hinanden, eller havde haft kontakt med hinanden før bortførelsen. De havde ingen kommunikation med hinanden under hele forløbet ( faktisk var de begge døvstumme). Eksperimentet blev fuldført og de klarede opgaven. Eksperimentet blev gentaget 10 gange og hver gang lykkedes det og hermed var det gjort klart at der ikke var tale om en tilfældighed eller et lykketræf. Bagefter blev de , som lovet, ført tilbage til Jorden, hvor de konverterede til Zoroastrianisme, giftede sig og levede lykkeligt til deres dages ende. Beskriv hvilke metode de brugte og hvordan de tænkte hver især. 
 

Niveau I - Ekstra 
( Der kræves at mindst er spørgsmål på niveau VII –IX er rigtigt besvaret, før dette spørgsmål kan medregnes). 
Den store digter João tilbragte sine sidste dage, i kælderen hos sin ven José. José, en lille handelsmand, var en mand med gavmildt hjerte på trods af få midler. Før João død tiltroede han sin ven ét u-udgivet digt. Digtets titel, (afsløret efter hans død), er uden betydning for nærværende problem. João kaldte den ydmyge og gavmilde ven , helt enkelt ved navnet ”Padde”. En enkelt gang spurgte hans ven ham, hvorfor han altid kaldte ham ved dette navn, og João forklarede. Find en logisk forklaring på betydningen af  ”Padde” Medtage i overvejelserne at João havde meget høje tanker om sin ven og , indenfor sammenhængen, (Dette er en sand historie ).