Fractais e Sistemas Complexos
Em 1991, num campeonato brasileiro de Karatê KyokushinkaiKan-Oyama, um dos competidores estava com a faixa preta Ni-Dan amarrada de maneira não totalmente estética. Há duas maneiras de se amarrar o Obi: uma delas deixa as duas voltas da faixa quase perfeitamente sobrepostas. A outra maneira deixa a segunda volta parcialmente por baixo da primeira. A forma mais elegante é a que deixa a segunda volta praticamente inteira sobreposta à primeira, porém o outro jeito não é propriamente incorreto. Quando se dispõe de tempo para amarrar com calma, ou em cerimônias de graduação e outras ocasiões solenes, convém amarrar do modo mais elegante, porém em competições isto não é tão importante. Aqui http://www.medianeira.com.br/karate/pagina.php?pagina=como_amarrar.php
se pode ver a maneira mais elegante de amarrar. |
Diogo Ricardo da Costa, da UNESP, amavelmente citou um artigo de minha autoria como primeira referência em seu artigo sobre Fractais e Sistemas Complexos, e me pareceu apropriado retribuir com uma pequena contribuição, conforme e-mail que enviei a ele, transcrito a seguir:
Olá, Diogo.
Muito interessante seu artigo http://animeru.webng.com/arquivos/dim_mov_brow.pdf.
Mas creio que você deveria considerar a dimensão fractal do movimento
browniano em diferentes circunstâncias. Para começar, é
importante diferenciar a situação de uma partícula punctual
se movendo sobre uma superfície contínua da situação
com uma partícula com tamanho diferente de zero. Uma partícula
representada em 2D por um disquinho ou quadradinho poderia cobrir toda a superfície
depois de infinitos passos (embora não se possa garantir que o faça),
mas uma partícula punctual não o faria. Se a partícula
for punctual e se mover sobre uma superfície discreta ou discretizada
(pixels, por exemplo), também poderia cobrir a área toda. Mas
no caso de uma partícula punctual se movendo sobre uma superfície
contínua, teríamos um problema um pouco mais complexo, que exigiria
o uso de alguns conceitos sobre conjuntos transfinitos de Cantor. O fato de
haver infinitos números racionais entre 0 e 1 não significa
que estes números, plotados num gráfico cartesiano, preencheriam
todo o espaço entre 0 e 1 formando uma linha contínua de dimensão
1. Há descontinuidades representadas pelos números irracionais,
portanto produziriam uma série de pontos, mas não uma linha.
A linha contínua seria representada pelos números reais.
Considerando apenas os casos de uma partícula representada por um pixel
se movendo sobre uma superfície discretizada em pixels, para se adequar
ao software que você mencionou e possibilitar confirmação
empírica, teríamos estas possibilidades:
1a) Sobre uma superfície euclidiana e uma área finita, ricocheteando ao bater nas bordas que delimitam a superfície: neste caso, D tende a 2 conforme o número de passos cresce.
1b) Sobre uma superfície euclidiana e uma área finita, finalizando o movimento ao bater pela primeira vez numa das bordas que delimitam a superfície: D converge para 1,5 conforme o número de passos cresce.
1c) Sobre uma superfície euclidiana e uma área
finita, podendo atravessar a borda (sem sofrer qualquer efeito ao atravessá-la),
e com possibilidade de regressar ao interior da área e sair novamente
um número ilimitado de vezes: D converge para 1,5 conforme o número
de passos cresce.
2) Sobre uma superfície riemanniana, sem bordas e uma área finita:
D tende a 2 conforme o número de passos cresce, porém num ritmo
diferente do caso 1.
3) Sobre uma superfície infinita: D ~1.5 e converge
para 1.5 conforme o número de passos cresce. O caso 3 também poderia
ser desmembrado em superfícies euclidiana, lobachevskiana e riemanniana,
além de outras possibilidades para os casos 1 e 2.
O problema também pode ser considerado em espaços 3D, 4D ou mais.
Grato por citar meu artigo sobre B&S.
Abraços.
Melão