Documento sem título

Melhor Solução

Enviada por Bruno Reboredo, medalha de bronze na Olimpíada da Matemática do Estado do Rio de Janeiro, Menção Honrosa na Olimpíada Brasileira da Matemática, B.Sc. pelo Instituto Militar de Engenharia, que, ao lado do ITA e da Poli USP, é um dos melhores cursos de Engenharia do Brasil. Segue a solução que foi apresentada por Bruno na segunda tentativa:

Raio Externo: 1000 mm (Re)
Raio Interno: 999 mm (Ri)
Raio do Cilindro: 2,5 mm (Rc)
Altura do Triângulo tangente à borda externa: He
Altura do Triângulo tangente à borda interna: Hi

Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos:
He2 = Re2 – Rc2
Hi2 = Ri2 – Rc2
Substituindo os valores, encontramos:
He = 999,996874995
Hi = 998,996871867

Portanto a altura do cilindro será:
h = He – Hi = 1,000003128

E o volume do mesmo: h.p.Rc2 = 19,6350155 mm3 ou 0,0196350155 cm3

[A solução enviada na primeira tentativa chegava até este pondo e calculava a massa do cilindro]

Considerando a densidade do ferro = 7,874 g/cm3, a massa do cilindro será: 0,154606112 g
Peso do cilindro (Pcil): mcil . g = 0,154606112.10¬-3 . 9,81 = 0,001516 N

Analisando as forças que atuam antes e depois de adicionar o cilindro, temos:
Empuxo sem o cilindro: E1 = dar . g . V1 , onde dar é a densidade do ar, e V1 é o volume de ar deslocado.

Desprezando o Volume do Cilindro, V1 pode ser considerado como: V1 = (4/3).p.Re3 - (4/3).p.Ri3 = 0,012554 m3
dar pode ser calculada de PV = (m/MM)RT dar = P.MM/(RT) = 1.28,8/(0,082.293) = 1,1987 g/L = 1,1987 Kg/m3
Logo E1 = (1,1987).(9,81).(0,012554) = 0,147624 N

Empuxo com o cilindro: E2 = dar . g . V2 , onde V2 é o volume de ar deslocado nessa 2ª situação.
Logo, V2 será o volume da esfera externa: V2 = (4/3).p.Re3 = 4,188790 m3
Consequentemente, E2 = (1,1987).(9,81).( 4,188790) = 49,257076 N

Dessa forma os pesos detectados pela balança serão:
P1 = Pesfera – E1
P2 = Pesfera – E2 + Pcil

Logo, P2 – P1 = Pcil – E2 + E1 = 0,001516 – 49,257076 + 0,147624 = – 49,107937 N

Ou seja, devido ao aumento do Volume de ar deslocado, quando “fechamos” a esfera, o empuxo aumenta tanto, que faz a balança marcar um peso menor (aproximadamente 5 Kg a menos): m = 49,107937 / 9,81 = 5,006 Kg

--------------------

No dia 16, às 00:32h (portanto só um pouco depois de expirar o prazo), Bruno enviou uma solução melhor, e me parece justo que seja incluída também:

Raio Externo: 1000 mm (Re)
Raio Interno: 999 mm (Ri)
Raio do Cilindro: 2,5 mm (Rc)
Altura do Triângulo tangente à borda externa: He
Altura do Triângulo tangente à borda interna: Hi

Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos:
He2 = Re2 – Rc2
Hi2 = Ri2 – Rc2
Substituindo os valores, encontramos:
He = 999,996874995
Hi = 998,996871867

Portanto a altura do cilindro será:
h = He – Hi = 1,000003128

E o volume do mesmo: h.p.Rc2 = 19,6350155 mm3 ou 0,0196350155 cm3

Considerando a densidade do ferro = 7,874 g/cm3, a massa do cilindro será: 0,154606112 g
Peso do cilindro (Pcil): mcil . g = 0,154606112.10¬-3 . 9,81 = 0,001517 N

Analisando as forças que atuam antes e depois de adicionar o cilindro, temos:
Empuxo sem o cilindro: E1 = dar . g . V1 , onde dar é a densidade do ar, e V1 é o volume de ar deslocado.

Por fim, calculamos o peso do ar contido na esfera na 2ª situação: Par = mar . g = dar . Var . g , sendo Var = (4/3).p.Ri3 :
Par = (1,1987).(9,81).(4,176236) = 49,109395 N

Dessa forma os pesos detectados pela balança serão:
P1 = Pesfera – E1
P2 = Pesfera – E2 + Pcil + Par

Logo, P2 – P1 = Pcil + Par – E2 + E1 = 0,001517 + 49,109395 – 49,257076 + 0,147624 = 0,001517 N

Ou seja, devido ao aumento do Volume de ar deslocado, quando “fechamos” a esfera, o empuxo aumenta, compensando o peso do ar no interior da esfera. Com os valores assumidos acima, percebemos que a diferença a ser marcada pela balança será: m = 0,001517 / 9,81 = 0,000154606 Kg = 0,154606 g (Que é exatamente a massa do cilindro!)